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24.3正多边形和圆(2)

24.3正多边形和圆(2)
24.3正多边形和圆(2)

24.3 正多边形和圆(2)

一、复述回顾:(二人小组完成)

1.什么是圆内接正多边形?

2.什么是圆内接正多边形的半径、中心角、边心距?

3.圆内接正n 边形的中心角是______.

二、设问导读:

阅读课本106,完成下列问题: 1.等分圆周:由于同圆中相等的圆心角所对的弧____,因此作相等的______角就可以等分圆. 2.画正多边形的方法:

(1)用量角器等分圆法:画一个边长为1㎝的正六边形. ①计算中心角的度数;

②画出一个中心角;

③截取相等的弧;

④顺次连接各分点.

思考:正六边形的半径与它的边长有什么关系?

(2)尺规作图等分圆法:

①你能用尺规将圆六等分吗?试一试. ②你能用尺规将圆三等分、十二等分吗?你是怎样做的,与同学交流.

3.你能用尺规作出正四边形、正八边形吗?

只要作出已知⊙O 的_________的直径即得圆内接正方形,再过圆心作各边的_______线与⊙O 相交,或作各中心角的_______线与⊙O 相交,即得圆接正____边形,照此方法依次可作正______边形、正_______边形、正六十四边形……

4.说说作正多边形的方法有哪些? 归纳:

(1)用量角器等分圆周作正n 边形; (2)用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正十二边形、正三角形.

三、自学检测:

按要求画图:

1.用尺规作圆内接正八边形.

2.画一个半径为2 cm 的正五边形,再作出它的对角线,画出一个五角形.

四、巩固训练:

用等分圆周的方法画出下列图案:

2.先将⊙O 五等分,再画出⊙O的内接和外切正五边形.

五、拓展延伸:

1.一个正多边形的一个内角是144°,这个正多边形是( )

A.正七边形

B.正八边形

C.正九边形

D.正十边形2.把正五边形绕着它的中心旋转,下面给出的四个角度,得到的正五边形能与原来重合的是( )

A.144°

B.108°

C.180°

D.240°

3.正多边形的一边所对的中心角与该正多形的一个内角的关系是( )

A.互余

B.互补

C.互余或互补

D.不能确定

4.正方形的外接圆半径与内切圆半径之比是( )

A.2∶1

B.2∶1

C.1∶2

D.1∶2

5.圆内接正六边形的边长与边心距之比为( )

A.2∶1

B.3∶2

C.3∶2

D.23∶3

6.正六边形的两条平行边间的距离为2,则它的边长为( )

A.

2

3

B.

3

3

2

C.

2

1

D.

2

3

7.如图,已知AB,AC分别是⊙O的内接正六边形和正十边形的一边.求证:BC 是⊙O的正十五边形的一边

.

第7题图

初三数学正多边形和圆Word版

初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识 一. 本周教学内容: 正多边形和圆、弧长公式及有关计算 [学习目标] 1. 正多边形的有关概念;正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。正n边形的半径,边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 2. 正多边形和圆的关系定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆,因此可采用作辅助圆的办法,解决一些问题。 3. 边数相同的正多边形是相似多边形,具有以下性质: (1)半径(或边心距)的比等于相似比。 (2)面积的比等于边心距(或半径)的比的平方,即相似比的平方。 4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆,因此画正n边形实际就是等分圆周。 (1)画正n边形的步骤: 将一个圆n等分,顺次连接各分点。 (2)用量角器等分圆 先用量角器画一个等于360? n 的圆心角,这个角所对的弧就是圆的 1 n ,然后在圆上依次截取这条弧的等弧, 就得到圆的n等分点,连结各分点即得此圆的内接正n边形。 5. 对于一些特殊的正n边形,如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 6. 圆周长公式:C R =2π,其中C为圆周长,R为圆的半径,把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。 7. n°的圆心角所对的弧的弧长:l n R = π180 n表示1°的圆心角的度数,不带单位。 8. 正n边形的每个内角都等于() n n -? 2180 ,每个外角为 360? n ,等于中心角。 二. 重点、难点: 1. 学习重点: 正多边形和圆关系,弧长公式及应用。 正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。 只有正五边形、正四边形对角线相等。 2. 学习难点: 解决有关正多边形和圆的计算,应用弧长公式。 例1. 正六边形两条对边之间的距离是2,则它的边长是() A. 3 3 B. 23 3 C. 2 3 D. 22 3 解:如图所示,BF=2,过点A作AG⊥BF于G,则FG=1

正多边形和圆教案

正多边形和圆(一)教案 教材分析 学生在前面已经学习了正多边形的概念,了解正多边形的各边相等、各内角相等以及多边形内角和的运算公式。在本册中学习了圆及圆的有关性质,理解圆中弧与弦的关系,从而为本节课研究正多边形与圆的关系打下了良好的基础,本节课先通过观察美丽的图案,让学生感受到数学来源于生活。接下来研究正多边形和圆的关系,按由特殊到一般的规律,以正五边形为例进行探索和证明,并将结论推广到正n边形。让学生体会到化归思想在研究问题中的重要性。培养学生观察、比较、分析问题的能力,发展了学生合情推理能力和演绎推理能力。 教学目标 知识技能:了解正多边形与圆的关系,了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 数学思考;通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。 解决问题:进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想,体会化归思想在研究问题中的重要性,能综合运用所学知识和技能解决问题。 情感态度:学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的。 重点难点 教学重点:探索正多边形与圆的关系,了解正多边形的有关概念,并能进行计算。 教学难点:探索正多边形与圆的关系。 教学过程: 一、观察图案,提出问题 (设计说明:学生通过观看美丽的图案,欣赏生活中正多边形形状的物体,让学生感受到数学来源于生活,从中感受到数学美,并提出本节课所要研究的问题。) 问题l:观看教科书图24。3-1,这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的,利用正多边形得到的物体。你能从这些图案中找出正多边形来吗? 教师引导学生回忆、理解正多边形的概念。 问题2:菱形,矩形,正方形是正多边形吗? 问题3:通过观察图案,你们知道正多边形和圆有什么关系吗? 问题4:给你一个圆,怎样就能做出一个正多边形来? (教师引导学生观察、思考,学生分组讨论、交流,发表各自见解) 此问题比较抽象,是本节课的难点。教师要求学生观察教材图案,会发现正多边形的边数多给人一种接近圆的印象。教师展示课件:在圆中依次出现几条相等的弦,学生会想到弧相等,教师迸一步引导学生明确只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形。

初中数学圆知识点总结

A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆 dr 点A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD =

鲁教版初三(上)数学:正多边形与圆,带答案

正多边形与圆 1.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形__________的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到 三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形__________的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三 角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示. (3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 2.三角形的内切圆、外接圆 三角形的内切圆:对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆 三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆 三角形外接圆的圆心叫三角形的外心 三角形的外心到三角形______________相等 三角形的外心是三角形三边中垂线的交点 三角形的内切圆:与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心 三角形的内心到_________的距离相等 三角形的内心是三角形三角平分线的交点 3.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角________,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形______________. 4.正多边形与圆 在正多边形的有关计算中,如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积,则有:

九年级数学上册 24.3 正多边形和圆教案 (新版)新人教版

24.3 正多边形和圆 24.3 正多边形和圆(二) 教学内容 正多边形和圆

教学方法 学法:1.思考探索 2.协作学习。 教法:启发式教学,在提出问题的背景下,通过先独立思考,再借助教师的引导和学习伙伴的帮助,充分发挥学生的主动性、积极性,最终达到使学生有效地掌握当前所学知识的目的。 教学过程 一.创设情境 (图片展示)生活中多姿多彩的正多边形 (1)它们的底座分别是什么图形? (2)底座图形的内角、中心角各为多少? (教师活动)展示图片,提出问题。 (学生活动)观察图片,思考问题。 附:由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性,所以会画正多边形应是学生必备能力之一。 二.探索新知 问题1:如何用尺规画出正六边形? 方法一:利用圆规将圆周六等分可找到正六边形的六个顶点,连接即可得正六边形。方法二:用圆规先画一个圆,在圆上任取一点,并以该点为起点,依次截取长度等于所作圆半径的弦,可将圆六等分,也可作出正六边形。

问题2:能够通过已知正六边形变换得到正三角形、正十二边形? 答:可以,正六边形中心角为60,正三角形中心角为120,正十二边形中心角为30,所以由正六边形得到正三角形只需连接彼此间隔的两点即可;而要由正六边形变换得到正十二边形只需作每条边的中垂线,得到中垂线与圆的交点,将圆周上所有标出的点连接起来即可得到正十二边形。 (教师活动)引导学生思考如何变换得到相应的图形。 (学生活动)通过在正六边形中不断地尝试、探索,找出怎样得出正三角形等图形的方法。 思考:能否用正六边形得到正二十四边形呢? (练)你能利用尺规作出正四边形吗?并想想能否由正四边形得到正八边形,如果可以,请描述变化的过程;如果不可以,请说明理由。 答:可以,两条互相垂直的线段可将圆均分成四等分,连接四等分点即可得正四边形。正八边形的产生只需先作出正四边形每边的中垂线,找到与圆的相应交点,最后连接所有圆周上所有标出的点,即可得到正八边形。图形如下: 归纳:作正多边形的方法有两种: (1)用圆规等分圆周; (2)用尺规作图法将简单正多边形变化为复杂正多边形。 三.应用提高 某学校在教学楼前的圆形广场中,准备建造一个花园,并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉,为了美观,种植要求如下: (1)种植牡丹的4块面积各自相等,种植月季的4块面积各自相等。 (2)花卉总面积等于广场面积。 (3)花圆边界只能种植牡丹花,杜鹃花种植与牡丹没有公共边。

正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形:各边相等,各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆:一个正多边形的各个顶点都在圆上,我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做这个正多边形的半径,正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为: 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角和相等,都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3,且为自然数): (1)当n 为奇数时,圆内接正 n 边形是轴对称图形,有 n 条对称轴;但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分,然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级: 上课时间:2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时,圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形:d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形:x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法:画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形,只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。

正多边形与圆2

教师姓名 学生姓名 填写时间 学科 年级 教材版本 课题名称 正多边形与圆 本人课时统计 第( 、 )课时 共()课时 上课时间 教学目标 同步教学知识内容 掌握正多边形与圆的关系 个性化学习问题解决 解决正多边形的相关概念与各种计算 教学重点 勾股定理的运用以及概念的理解 教学难点 各种概念的理解 教 学 过 程 、 课 堂 设 计 知识点1 正多边形的相关概念 (1) 正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 (2) 正多边形和圆:把一个圆n 等分,依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个 圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 (3) 正多边形是对称图形。当n 为奇数时,是轴对称图形;当n 为偶数时,既是轴对称图形,又是中心 对称图形。 (4) 与正多边形有关的概念: a 正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心; b 正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径; c 正多边形的中心角:正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。正n 边形的每个中心角都等于 360/n ,正n 边形的每个内角都等于【(n-2)×180】/n. d 正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一条边的距离。 例题1 圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 例题2 正五边形共有__________条对称轴,正六边形共有__________条对称轴. 例题3 正n 边形是 对称图形,它的对称轴有 条 。 例题4

知识点2 正多边形的计算 1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心,也是内切圆的圆心。 2.联接中心和正多边形的各顶点,所得线段都是外接圆的半径,相邻两条半径的夹角是中心角。 3.在正n 变形中,分别经过各顶点的这些半径将这个正n 边形分成n 个全等的等腰三角形,每个等腰三角形的腰是正n 边形的半径,底边是正n 边形的边,顶角是正n 边形的中心角;底边上的高是正n 边形的内切圆的半径,它的长是正n 边形的边心距。 注:正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式 提示:解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形,运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5如图,两相交圆的公共弦AB 为32,在⊙O 1中为内接正三角形的一边,在⊙O 2中为内接正六边形的一边,求这两圆的面积之比。 例题6如图,⊙O 内切于△ABC ,切点分别为D 、E 、F ,若∠C =900 ,AD =4,BD =6,求图中阴影部分的面积。 ?第1题图 E F A B O C D 2 2 2 2?? ? ??+=a r R 2 O 1O ??例1图 B A

2020年人教版九年级数学上册24.3《正多边形和圆》随堂练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1.下面图形中,是正多边形的是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形 2.如图,正六边形的每一个内角都相等,则其中一个内角α的度数是( ) A.240° B.120° C.60° D.30° 3.一个正多边形的一个外角等于30°,则这个正多边形的边数为. 4.如图,AC是正五边形ABCDE的一条对角线,则∠ACB= . 知识点2 与正多边形有关的计算 5.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,正六边形的周长是12,则⊙O的半径是( ) A. 3 B.2 C.2 2 D.2 3 6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 7.若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为( ) A. 2 B.2 2 C. 2 2 D.1 8.边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是. 9.如图,将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合.若A点的坐标为(-1,0),则点C的坐标为( ).

10.将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形,这个正方形的边长等于 (结果保留根号). 知识点3 画正多边形 11.如图, 甲:①作OD的中垂线,交⊙O于B,C两点; ②连接AB,AC,△ABC即为所求的三角形. 乙:①以D为圆心,OD长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点; ②连接AB,BC,CA,△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法,可判断( ) A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误 C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确 12.图1是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形. 如图2,AE是⊙O的直径,用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹). 中档题 13.正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A.4R=5r B.3R=4r C.2R=3r D.R=2r 14.如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(-3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( ) A.(2,-3) B.(2,3) C.(3,2) D.(3,-2)

八年级数学正多边形和圆弧长和扇形面积教学设计

八年级数学 正多边形和圆、弧长和扇形面积(精品教学设计) 一、目标认知 学习目标 1.了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. 2.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长和扇形 面积的计算公式,并应用这些公式解决问题. 3.了解圆锥母线的概念,理解圆锥侧面积计算公式,理解圆锥全面积的计算方法,并会应用公式解决问题. 重点 1.正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系. 2.n°的圆心角所对的弧长,扇形面积及它们的应用. 3.圆锥侧面积和全面积的计算公式. 难点与关键 1.正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 2.弧长和扇形面积公式的应用;由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程.3.圆锥侧面积和全面积的计算公式. 二、知识要点透析 知识点一、正多边形的概念 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形. 要点诠释: 判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件:(1)各边相等;(2)各角相等;缺一不可.如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形(正方形). 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心. (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距. 3.正多边形的有关计算

人教版数学九年级上册-24.3-正多边形和圆-练习题

九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案 一、课前预习 1.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴,正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 二、课中强化(10分钟训练) 1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时,此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A.26 B.43 C.3 6 D.34 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ) A.S 3>S 4>S 6 B.S 6>S 4>S 3 C.S 6>S 3>S 4 D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ; (2)在(1)题的作图中,如果点E 在弧AD 上,求证:DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. 图24-3-1 三、课后巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.3 3 2.已知正多边形的边心距与边长的比为2 1,则此正多边形为( )

正多边形与圆教案

正多边形和圆 一、学习目标: 1知识与技能: (1)了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 (2)能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 2过程与方法: (1)学生在探讨正多边形有关计算过程中,体会到要善于发现问题,解决问题,发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。 (2)在探索正多边形有关过程中,学生体会化归思想在解决问题中的重要性,能综合运用所学的知识和技能解决问题。 3情感、态度与价值观: ' (1)学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的。 (2)运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验,建立学习自信心。 二、教学重难点: 教学重点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系,并能进行有关计算。 教学难点:理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。 三、教学方法:引导学生采用自主合作探究的方式进行学习 四、教学准备:PPT课件、圆规、直尺 五、教学过程: 导入: 前面我们学习了许多图形与圆的关系,如:点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系,还有什么图形我们没有与圆联系上呢(多边形)那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。看看它们之间有怎样的联系,又给我们带来什么样的知识。 / (一)自习交流: 1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容,勾画你认为重要的地方和有 疑问的地方。 ①什么是多边形多边形的内角和与外角怎么计算的 ②正多边形和圆有什么关系 ③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径,并结合以前的知 识说说它们的特点 ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面 积 2.师生交流重要知识点: (1)正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 如正五边形:AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E (

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习(含答案)复习过程

圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义:第一种:在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周,另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心,线段 OA 叫作半径。第二种:圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知:第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 (1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。 (2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。(3) 等圆:等够重合的两个圆叫做等圆。 (4)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。如图所示,直径为 CD,AB 是弦,且CD⊥AB, C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如 上图所示,直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M, CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意:因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。

24.3 正多边形和圆(2)

临夏县三角中学课时计划 一、教学内容 24.3 正多边形和圆(2) 二、教学目标 1. .巩固正多边形的有关概念、性质. 2.会运用等分圆的方法,画正多边形,会用尺规作图法画特殊的正多边形. 过程. 3.使学生会画正多边形,设计图案,发展学生的实践能力和创新精神. 三、重难点、关键 1.重点:会画正多边形 2.教学难点:用尺规作图法画特殊的正多边形 四.教具:圆规 五、教学过程 (一)、复习引入 1.什么叫做正多边形? 2.什么是正多边形的边长、中心、半径、边心距、中心角? 3.正多边形有哪些性质? 4.正n边形的每个中心角都等于多少度? 实际生活中经常会遇到画正多边形的问题,这些问题都和等分圆周有关系,这节课学习如何画正多边形. (二)、探索新知 用量角器等分圆周画正多边形 怎样就能等分圆周呢? 分析:因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等,所以作相等的圆心角就可以等分圆,从而得到相应的正多边形. 用尺规作图等分圆周画特殊的正多边形 1.如何画一个半径为2cm正五边形? 画图需要注意:画图时尽量减少误差,力求精确. 2.用上述画法画一个半径为3cm的正九边形.

3.如何画一个半径为2cm正六边形?在此基础上如何得到正三角形? 4.如何画一个半径为2cm正方形(正四边形)? 画正多边形的外接圆和内切圆 1.已知:正五边形ABCDE, 求作:正五边形ABCDE的外接圆和内切圆. 分析画法:画圆需要确定圆心和半径.正多边形的外接圆和内切圆的圆心都是各边垂直平分线的交点,本题的关键是确定圆心,只要作出两条边的垂直平分线,其交点就是圆心0,半径容易得到. 2.确定特殊正多边形的外接圆和内切圆的圆心的画法 1.正方形:画对角线,交点就是圆心. 2.正六边形:分别以两个顶点为圆心,以边长为半径画弧,在形内交于一点,该点就是圆心. 3.问题:任意正多边形的外接圆和内切圆的圆心的确定有怎样的普遍方法吗?(三)课堂练习完成课本107页练习 (四)、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.复习正多边形的有关概念、性质以及正多边形和圆的关系. 2.正多边形的画法. 3.正多边形的外接圆与内切圆的画法. 4设计图案. 六、板书设计: 24.3 正多边形和圆 1.复习引入 3.课堂练习 2. 等分圆周画正多边形 4.课时小结 七、布置作业:习题24.3 2,7 题 八、作业收交及完成情况: 九、缺课学生及原因: 十、教学反思:

历年初三数学正多边形和圆及正多边形的有关计算及答案

中考数学辅导之—正多边形和圆及正多边形的有关计算 正多边形和圆是初中几何课本中的最后一单元,它包括正多边形的定义、正多边形的判定、性质,正多边形的有关计算,圆周长及弧长公式,圆、扇形、弓形的面积。今天我们一起学习正多边形的定义、判定、性质及有关计算. 一、基础知识及其说明: 1.正多边形的定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.此定义中的条件各边相等,各角也相等 “缺一不可”.如:菱形各边相等,因四个角不等,所以菱形不一定是正多边形.矩形的四个角相等,但因四条边不一定相等,故矩形不一定是正四边形,只有正方形是正四边形. 2.正多边形的判定,正多边形的定义当然是正多边形的判定方法之一,但如同全等三角形的判定一样,用定义来证明两个三角形全等显然不可取,因此需用判定定理来证. 判定定理:把圆几等分(3≥n ) ①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形 ②经过各分点做圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形.也就是说,若要证明一个多边形是圆内接正多边形,只要证明这个多边形的顶点是圆的等分点即可, 如:要证明一个圆内接n 边形ABCDEF ……是圆内接正n 边形,就要证A 、B 、C 、D 、E 、F ……各点是圆的n 等分点,就是要证AB=BC=CD=DE=EF=…….同样,要证明一个圆外切n 边形是圆外切正n 边形,只要证明各切点是圆的等分点即可 例1:证明:各边相等的圆内接多边形是正多边形. 已知:在⊙O 中,多边形ABCDE …… 是⊙O 的内接n 边形 且AB=BC=CD=DE=……. 求证:n 边形ABCDE ……是正n 边形证明: AB=BC=CD=DE=…… ∴ AB=BC=CD=DE …… ∴OEB=AEC= BED=COE=…… ∴ΛΛ=∠=∠=∠=∠D C B A 又∵AB=BC=CD=DE=…… ∴n 边形ABCDE ……是正n 边形. 例2:证明:各角相等的圆外切n 边形是正n 边形. 已知:多边形F E D C B A ''''''……是圆外切n 边形,切点分别是A,B,C,D,E ……,F E D C B A '∠='∠='∠='∠='∠='∠=……. 求证:n 边形F E D C B A ''''''……是正n 边形. 证明:连结OB,OC,OD ……,在四边形COD C '和四边形BOC B '中 ∵D C C B B A '''''',,切⊙O 于B,C,D ∴ο90='∠='∠='∠='∠C OD C OC B OC B OB ∴ 0''180=∠+∠=∠+∠COD C BOC B 而='∠='∠='∠C B A …… ' ∴COD BOC ∠=∠

初中数学_正多边形和圆教学设计学情分析教材分析课后反思

四教学设计 (一)教学目标 知识与技能 1.了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径和边长,边心距,中心角之间的关系. 2.会进行相关的计算. 过程与方法 (二)、教学重、难点 重点:讲清正多边形和圆中心,正多边形半径,中心角,弦心距,边长之间的关系. 难点探索正多边形和圆的关系. (三)、教学准备 多媒体课件 (四)、教学方法 分组讨论,讲练结合 三学情分析 学生圆的性质掌握的不牢固,课堂上注意力不持久,对数学问题缺乏兴趣。需要教师激发学生学习数学的兴趣,帮助学生树立信心,逐步养成良好的学习习惯,提高学生分析问题解决问题的能力. 效果分析

进一步巩固圆的性质,巩固垂径定理的应用.让学生进一步体会垂径定理在生活中的应用的广泛性,将正多边形问题转化为三角形问题. 八.观课记录 记录人:时春雷 本节课根据学生年龄特征,认知规律及已有的数学知识水准进行教学,所以,根据教学内容和学生实际水平,我认为教师采用了以下的教学方法: 1、教师点拨、引导,充分发挥学生的主观能动性,调动学生的理解和分析能力,让学生联系实际,动脑分析,充分体现出教为主导,学为主体的教育原则。 2、采用实验讨论法,让学生在讨论实践的过程中找出应吸取的经验教训,并联系现实,使学生在尝试学习中自主地得出结论,并使结论为现实服务。 3、采用尝试教学法,指导学生自学,让学生动手寻找问题答案,使学生的思维能力和实践创造能力得到提高。 课堂中教师为每一个学生提供参与学习活动的机会,在活动中培养他们的综合能力和合作意识,把课堂还给学生充分体现教师为辅学生为主的原则。对本节课的学习,学生的热情程度高。动手操作和课件辅助教学提高了学生的兴趣,使学生的注意力集中,全神贯注。学生学习态度认真,求知欲高。从整体来说这节课是非常成功的. 二、教材分析: 本节课是在学生学习了圆的性质后学习,这些知识为本节的学习起着铺垫作用。本节内容正多边形和圆也是今后进一步研究圆的性质

九年级数学下册圆的知识点整理

九年级数学下册圆的知识点整理 圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见,下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理,希望能够帮助到大家! 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.三点定圆定理 4.垂径定理及其推论 5.等对等定理及其推论 5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质: 初中数学复习提纲

2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴⑵ 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角:初中数学复习提纲 内角的一半:初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式

3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周:4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r

九年级上册数学《圆》正多边形和圆_知识点整理

正多边形和圆 一、本节学习指导 本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质,在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题,部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。 二、知识要点 1、正多边形 (1)、正多边形的定义 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。如:正六边形,表示六条边都相等,六个角也相等。 (2)、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 (3)、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 (4)、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 (5)、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 (6)、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性 (1)、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。 (2)、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。 (3)、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。

24.3正多边形和圆 一、填空题 1. 在一个圆中,如果?60的弧长是π,那么这个圆的半径r=_________. 2. 正n 边形的中心角的度数是_______. 3. 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4. 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5.正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是( ). (A ) 两角互余 (B )两角互补 (C )两角互余或互补 (D )不能确定 6.圆内接正三角形的边心距与半径的比是( ). (A )2:1 (B )1:2 (C )4:3 (D )2:3 7.正六边形的内切圆与外接圆面积之比是( ) (A )43 (B )23 (C )21 (D )4 1 8.在四个命题:(1)各边相等的圆内接多边形是正多边形;(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形;(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形;(4)各角相等的圆外切多边形是正多边形,其中正确的个数为( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4 9.已知:如图48-1,ABCD 为正方形,边长为a ,以B 为圆心,以BA 为半径画弧,则阴影 部分面积为( ). (A )(1-π)a 2 (B )1-π (C ) 44π- (D )4 4π-a 2 1. 3; 2. n o 360;3. ∏2;4. 2:3; DBABD

24.3 正多边形与圆 教学设计

24.3 正多边形和圆 一、【教学目标】 知识与能力:了解正多边形与圆的关系,以及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.经历探索正多边形与圆的关系过程,学会运用圆的有关知识解决问题,并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 过程与方法:学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现和解决问题,提升学生的观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力和推理能力. 情感态度与价值观:学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又应用于生活,体会到事物之间是相互联系,相互作用的. 重点:了解正多边形与圆的关系,了解正多边形的有关概念. 难点:探索正多边形与圆的关系. 二、【教学过程】 一、巩固基础,复习回顾 问题1:什么是多边形? 问题2:多边形的内角和、外角和分别是多少? 问题3:什么样的多边形是正多边形? 问题4:正多边形都有哪些性质?(数量关系和对称性) 教师演示课件,提出问题,引导学生观察、思考. 学生独立思考,发表各自见解. 二、情景引入,探索新知 1、提出问题 你知道正多边形与圆的关系吗? 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 例题:以圆内接正五边形为例证明:如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接 各分点得到正五边形ABCDE. 问题:如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这n边形一定是正n边形吗? 定义:把圆分成n(n≥3)等份:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. 教师演示课件,把圆分成相等的5段弧,依次连接各个分点得到五边形. 教师引导学生从正多边形的定义入手,证明多边形各边都相等,各角都相等,引导学生观察、分析.

最新正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

个性化辅导教案 1 2 学生姓名:授课教师:所授科目: 3 学生年级: 上课时间: 2016 年月日时分至时分共4 小时

分析:要求正六边形的周长,只要求AB 的长,已知条件是外接圆半径,因此自然而然,边长应与半径挂上钩,很自然应连接OA ,过O 点作OM ⊥AB 垂于M ,在Rt △AOM?中便可求得AM ,又应用垂径定理可求得AB 的长.正六边形的面积是由六块正三角形 面积组成的。 例2:已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图). (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ; (2)在(1)题的作图中,如果点E 在弧AD 上,求证:DE 是⊙O 内接正十二边形的一边. F D E C B A O M

例3(中考): 如图,在桌面上有半径为2 cm的三个圆形纸片两两外切,现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖,求这个大圆片的半径最小应为多少? 课堂练习: 选择题 1.一个正多边形的一个内角为120°,则这个正多边形的边数为( ) A.9 B.8 C.7 D.6

2.如图所示,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是( ) A. cm B. cm C.cm D.1 cm 第2题图第3题图第4题图 3.如图所示,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 4.如图4所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是(). A.60° B.45° C.30° D.22.5° 5.若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长,?则这段弧所对的圆心角为() A.18° B.36° C.72° D.144° 6.正六边形的周长为12,则同半径的正三角形的面积为________,同半径的正方形的周长为________. 7. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 . 8.如图所示,正△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,求△ABC的边长a,周长P,边心距r,面积S.

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