函数定义域、值域求法总结(精编)

函数定义域

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x

x x f -++=21

1)(

例2 求下列函数的定义域：

① 14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f ③=

)(x f x

1111++

④x

x x x f -+=0)1()( ⑤3

7

3132+++-=

x x y

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围

例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )4

1

(-?x f 的定义域

例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

例7已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2

)的定义域。

例8设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域

例9已知f(x 2

)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （ ）

Ａ．[]1,1-

Ｂ??

?

???-

21,21

Ｃ．??

????1,2

1

Ｄ．10,2

??????

已知函数()11x

f x x

+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =????的定义域为Ｂ，则

（ ）

Ａ．A B B =

Ｂ．B A ∈

Ｃ．A B B =

Ｄ． A B =

函数值域

题型一:利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）

（3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x x y 1+=（记住图）

练习对勾函数:

二次函数在区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

① 142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；

③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；

题型二: 换元法

例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。

例4 求函数x x y -+=12 的值域

练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。

例5 （选）求函数x x y -+-=53 的值域

例6 求函数21x x y -+=的值域

（三角换元法）

小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设

)0,cos (2

2

,sin πθθπ

θπ

θ≤≤=≤

≤-

=a a 或设

（2）若题目中含有12

2

=+b a 则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0

例7 求函数[])1,0(239∈+-=x y x

x

的值域

例8求函数x

x y 2231+-?

?

? ??= 的值域

题型三: 分式—分离常数法 例9 求函数2

1

+-=

x x y 的值域

小结：已知分式函数)0(≠++=

c d cx b ax y ，值域为???

?

??≠c a y y ；

例10 求函数1

33+=x x y 的值域 练习1：y =121

2+-x x ；（y ∈(-1，1)）. 2： 函

数1

1

22+-=x x y 的值域

:题型四: 带绝对值的函数

例12 求13+--=x x y 的值域

解法一： 解法二：

练习1：1y x x =++的值域呢？ 2 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

题型五：慢动作——求倒数 例13 求函数3

425

2+-=x x y 的值域

习题：

1、 函数11

++

=x

x y 的值域

2、 (选) 求函数)1(12

22->+++=

x x x x y 的值域 3、 （选） 求函数)22(1

2

22≤≤-+++=

x x x x y 的值域

4、 )0(91

2

2≠++

=x x x y ；

5、x x y -+=2； ②242x x y --= (3)y

6、求函数y =3+√(2－3x)的值域

7、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

8、求函数x x y -+=142的值域

9、（选）求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域