2018高中数学每日一题之快乐暑假第10天利用正弦定理判断三角形的形状理新人教A版

第10天 利用正弦定理判断三角形的形状

高考频度：★★★☆☆ 难易程度：★★★☆☆

典例在线

（1）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

cos cos a b

A B

= ，则ABC △是 A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰或直角三角形

D ．等腰直角三角形

（2）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A :cos B ＝b :a ，则ABC △是____________

三角形．

【参考答案】（1）A ；（2）等腰或直角．

【解题必备】判断三角形形状的常用方法——边化角，已知条件中同时包含边角关系，判断三角形形状时，将边化为角，从三角变换的角度来研究角的关系和特征，进而判断三角形的形状．一般来说，这种方法能够判断的三角形都是特殊的三角形，如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形．若,,a b c 在条件式中是齐次线性关系，则可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状． 学霸推荐

1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin A C =，则ABC △一定是 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2

cos 22B a c

c

+=，则ABC △的形状为 A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰或直角三角形

D ．等腰直角三角形

3．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △为 A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

1．【答案】B

【解析】由正弦定理设sin sin sin a b c k A B C ===，又sin sin A C =，即a c

k k

=，所以a c =．故选B ． 2．【答案】A 【解析】2

1cos cos

222B B a c c ++==，故cos a B c =，由正弦定理得sin cos sin A B C

=，即sin A =sin cos C B ，根据三角形的内角和定理，有sin()sin cos B C C B +=，化简得sin cos 0B C =，

所以cos 0C =A ．

(完整版)相似三角形的判定方法

(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．

解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。思考： （1）∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ （2）显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大，能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来？ 如图1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a 、AC=b 、AB=c ，根据锐角三角函数 中正弦函数的定义，有a sinA c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===，从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C ==。 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（分为锐角三角形和钝角三角形两种情况） 如图1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =，则：sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ，从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二：（向量法）过点A 作j AC ⊥ ，由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ，即 sin sin = a c A C 证明三：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴ 2sin sin a a CD R A D ===， 同理：sin b B =2R ，sin c C ＝2R 同理，过点C 作⊥ j BC ，可得sin sin =b c B C ，从而a b c sinA sinB sinC == 类推：当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程，可得以下定理： c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D

高级中学数学公式定理汇总

高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式 (3)零点式；当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式 4切线式：。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则； ，，. (2)当a<0时，若，则， 若，则，. 9.一元二次方程＝0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或； 2方程在区间内有根的充要条件为 或或； 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如，，不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。

(3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立，则；若恒成立，则；若有解，则 ；若 有解，则 ；若 有解，则 . 若函数无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有，成立 存在某，不成立 或 且 对任何，不成立 存在某，成立 且 或 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

高中数学：(一)正弦定理

课时达标训练(一) 正 弦 定 理 [即时达标对点练] 题组1 利用正弦定理解三角形 1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2 2. ∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ， ∴cos A a ＝sin A a ， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°

5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1 sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴ a －2 b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2. ★答案★：2 6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝ b sin C c ＝10·sin 60°56 ＝2 2， 且b ＝10，c ＝56，b 0，∴cos A ＝0，即A ＝π 2 ，∴△ABC 为直角三角形． ★答案★：直角三角形 8．在△ABC 中，a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos ????π2－A ＝b ·cos ????π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b 2R ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形． 法二：∵a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ， ∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B ，

高中数学课本中的定理公式结论的证明

数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合（无） 第二章 函数（无） 第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质： 如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log a a a M M N N =； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +， 即证得log log log a a a MN M N =+． 证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴ q p q p a a a N M -==， ∴q p N M a -=log ， 即证得log log -log a a a M M N N =． 证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =， ∴n np M a =， ∴log n a M np =， 即证得log log n a a M n M =．

第四章函数应用（无） 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明． 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行． 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

高中数学教案必修四：正弦定理

课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到 一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键： 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入： 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课探究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C

必修五解三角形正弦定理和余弦定理

学案正弦定理和余弦定理 导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 自主梳理 1．三角形的有关性质 (1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－bb?sin A____sin B?A____B； (4)三角形面积公式：S△ABC＝1 2ah＝ 1 2ab sin C＝ 1 2ac sin B＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或________________?三角形为等腰或直角三角形； sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B 2＝cos C 2. 自我检测 1．(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC() A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A等于() A．30°B．60°C．120°D．150° 3．(2011·烟台模拟)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为() A．27 B.21 C.13 D．3

4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________． 5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3 ，则a ＝________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________； (2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－ b 2＝a c . (1)求角B 的大小； (2)若c ＝3a ，求tan A 的值． 变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3 ，b ＝13，a ＋c ＝4，求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状． 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C . (1)证明：B ＝C ； (2)若cos A ＝－13 ，求sin ????4B ＋π3的值． 1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它 是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用． 2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求

高中数学公式及定理

高中数学公式及定理Newly compiled on November 23, 2020

1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h'

人教版高中数学,正弦定理(一)

人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°

解三角形之正弦定理

1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1．在△ABC 中，若∠B ＝135°，AC ＝2，则BC sin A ＝ ( ) A ．2 B ．1 C ． 2 D ．2 2 2．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433 ，则∠A 的大小为 ( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．已知△ABC 的面积为3 2，且b ＝2，c ＝3，则sin A ＝ ( ) A ．32 B ．12 C ．34 D ． 3 4．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积为 ( ) A ．22 B ．24 C ．32 D ．3＋14 5．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为 ( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 6．在△ABC 中，(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝ ( ) A ．4∶5∶6 B ．6∶5∶4 C ．7∶5∶3 D ．7∶5∶6 7．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 *8．[2013·辽宁理，6]在△ABC 中，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2b ，且a >b ，则B ＝ ( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π 6 二、填空题 9．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，cos A ＝5 5，则sin A ＝________；a ＝________． 10．(1)在△ABC 中，若a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________； (2)在△ABC 中，若tan A ＝13 ，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________． 11．(1)在△ABC 中，若b ＝a cos C ，则△ABC 是___________三角形； (2)在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是______________三角形；

高中数学公式及定理

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1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L

相似三角形的判定定理2

A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲

A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠

高中数学定理公式大全

抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A

正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 1、已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角。 例题设计一： 已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）。 （1）∠A＝60°∠B=45° a＝10 （2）∠A＝45°∠B＝105° c＝10 （1）属于已知三角形的两角和其中一角的对边，先由三角形内角和定理知∠C＝180°-∠A-∠B＝75°，然后由正弦定理直接得：b＝＝＝≈8.2，c==≈11.2 （2）为已知两角和另一角的对边，这时先利用∠A+∠B+∠C＝π，求出另一角∠C＝30°，然后由正弦定理得：a=== b=== 这两道例题均选自教材，使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时，这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一： 设计意图：巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解：∵，∴a＝，∠B＝180°- （∠A+∠C）＝180°-（45°+30°）＝105°，∵，∴ b ＝＝20sin75°=20×=5+5. 例题设计二： 已知△ABC中，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1） （1） a=3 b=4 ∠A＝30° （2） a=b＝6 ∠A＝120° （3） a=2 b=3 ∠A＝45° （1）由正弦定理得sinB＝＝＝，再由三角形内角和定理 知∠B的范围为：0°＜B＜150°，∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°，再根据“三角形中大边对大角”知 b=4＞a＝3，∴∠B＞∠A， ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°； 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°-30°-41.8°＝108.2°， c＝＝≈5.7； 当∠B≈138.2°时，∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°，

高中数学常用公式及定理

高中数学常用公式及定理 1．熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，防止解题易误点的产生，对提升数 学成绩将会起到很大的作用。 2．所有定义、概念、公式、解题方法都须熟记，且应在弄清它们的来龙去脉后再熟记。 1.元素与集合的关系：U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式：();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=Φ()U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；非 空的真子集有2n －2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠； (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式：()N f x M <

正弦定理和余弦定理(解三角形)

解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长.