基于_课题研究模式_的数学教学内容理解和处理

《教学与管理》2012年2月1日

数学教学中，教师具备一定的课题研究意识和能力，将教学内容变成课题研究的过程，引导学生作为研究者或探究者来操作学习材料，对培养学生的思维能力和创新意识大有好处。调研发现，学生的数学合情推理与演绎推理能力不强，知其然而不知其所以然；缺乏“寻找表面看似不同的材料间共性结构，对感悟到的命题的严密求证，问题解决的简便方法寻找——

—等等”的思维方式和求真意识，而这正是引导数学家研究数学的动力。

当教师把数学教学内容变成课题研究来理解并对学生解读时，使得师生探究活动类似于数学家研究和发展该学科的那种方式进行，就能真正地开展学生合作探究交流的学习活动。也就是说，基于“课题研究模式”的数学教学内容的理解和处理，有助于教师设置利于学生的思维能力和创新能力发展的师生探究活动，实现新课程的教学要求。

一、基于“课题研究模式”的数学教学内容理解和处理的缘由

我们知道，课题研究模式一般是这样的，1、研究背景与问题提出，2、研究目的与意义，3、国内外有关研究综述，4、研究思路与方法，5、研究创新点，对研究的“是什么？”“为什么？”“怎么样？”等进行了描述。这模式为研究课题指明了研究范式和思考框架，按此进行“研究设计”思考，可以确保课题研究的新颖性、合理性、科学性和创新性。它是研究工作的线索，也是解读一项研究工作的框架。

数学教学内容是人类课题研究的结晶，在教科书中是以一定的逻辑演绎定论形式呈现的，其中课题发现以及研究过程不可能在教科书中呈现出来，但是研究过程对学生的思维能力和创新能力是必不可少的，需要教师对数学教学内容进行加工改造，将“知识结果”还原成类似人类科学发现的“研究过程”，以使得学生以探究者身份对此进行操作，获得发现问题、分析问题和解决问题的本领，掌握人类积累下来的知识观点和思想方法。

在新课程教学理念下，教师对数学教学内容的处理，关键在于将“知识内容”转化成“研究过程”，为学生探究合作交流提供土壤。而这种转化技术，需要教师对教学内容的“研究性理解”。所谓教学内容的“研究性理解”，就是将教学内容视为一个课题的研究成果，从课题研究模式进行解读教学内容，以此安排教学活动过程。教师通过对教学内容的研究性理解，做好表征研究过程，生成学生探究活动。

二、基于“课题研究模式”的数学教学内容理解和处理

教师处理数学教学内容，实质上就是自我理解并操作教学内容，由此按照教学目标的要求将教学内容处理为利于学生知识内化和能力培养的学习活动材料。为此，教师可以借助“课题研究模式”，对数学教学内容进行研究性理解和处理，使得“静态”教学内容变成“动态”的研究过程，教学过程变得亲切而自然、有兴趣而富于挑战性。下面以九年级《公式法解一元二次方程》（人教版）为例来说明。

1.确定教学内容的“课题”及其研究域

教师根据教学内容的“是什么、为什么、怎么样”理解，概括出研究“课题”题目内涵；然后对照教学目标要求和学生实际水平，确定此课题研究的范围和深度，最后进行研究材料的选择。例如，该《公式法解一元二次方程》课题题目就反映出：一元二次方程求根公式是什么；一元二次方程公式怎么得到的；一元二次方程公式法怎么应用。进一步确定此课题研究域：关于一元二次方程解的存在性（两解、一解和无解）、以及解的推导表达，公式法运用

基于“课题研究模式”的数学教学内容理解和处理*

筅河北廊坊师范学院李静*该文为全国教育科学规划教育部重点课题“基于多元表征学习的初中代数变式教学模式研究——

—‘以学论教’改革实验”（GOA107019）的阶段性成果

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技能技巧。这反映了课题研究讨论的顺序。除此之外，考虑该课题研究，需要哪些材料来说明解的存在性，以及推导出“公式法”在哪些材料中可以检验，如何应用研究得到的知识观点和思想方法，等等。

2.从“研究背景和问题提出”角度理解教学内容

确定“课题”后，了解该课题应该在什么知识背景下才可能探究，它是通过什么问题来展开研究的，即，或为解决一类问题而产生的，或修改已有的知识观点。当然，问题探索结果，能提出假设结论，也就是说，问题情境应内含着课题的一般观点和思想方法。例如，该《公式法解一元二次方程》是在一些比较特殊的一元二次方程求解的基础上，再对一般一元二次方程求解研究。作为一个课题研究所依赖的问题（问题提出）能达到：或寻求一元二次方程解的特征（有、无解），或寻求一般一元二次方程的公式解（能否用未知数系数表达方程的解），或解决特殊方程不易求解的有关实际问题。

3.从“研究目的与意义”角度理解教学内容

教学内容“课题”深入研究，需要整体上明确该课题的目的，即，或解决哪类问题？或建构多大知识体系？同时，分析该课题存在的价值以及现实意义，并在研究活动中体现出该课题的作用以及构成该体系的纽带联系，这需要从数学哲学角度上高屋建瓴地阐释其目的和意义。例如，该《公式法解一元二次方程》研究目的，应是探究更加一般化的解方程规律，提高解方程的效率。其实践意义，应是寻找有关一元二次方程实际应用的方法；其理论意义，应是发展了方程理论，并验证了带根号无理数和不能开平方的负数的存在性，推动了数域的发展。

4.从“有关研究综述”角度理解教学内容

对于该教学内容“课题”的研究，在此之前有何研究（或涉及）呢？程度如何？或者相关研究如何？本研究是对原来研究的发展呢？还是对几个相关内容的概括提升，抑或对类似问题的研究？等等，研究结果会达到什么地步？有关研究对本课题研究在方法上有什么启示？例如，该《公式法解一元二次方程》的有关研究，有配方法和直接开平方法，也有一元一次方程的一般公式解法，这些都是研究《公式法解一元二次方程》的基础。从以前相关研究中可以启示（即“述评”），解方程无论什么方法，目的是化繁难为容易，即降低未知数的次数和减少未知数的个数（降次和消元），化成一元一次方程为最后目标。

5.从“研究方法与思路”角度理解教学内容

研究该教学内容的课题，需要借助什么方法论证课题假设？并能说明这种方法的合理性。在情境中发现问题、分析问题、解决问题的每个阶段要用什么方法？以及小组讨论时，对什么内容应该采用什么方法？同时研究该课题的思路是什么？为什么是这样？为此，师生在研究活动中，使学生明确研究方向，思路清楚，掌握研究方法，以此培养思维能力和创新能力。例如，该《公式法解一元二次方程》的研究方法，首先借用分类法从问题情境中发现一元二次方程解的类型假设，由此产生新的问题，即，为什么会产生不同解（有解或无解），接着推导出一般方程的公式解，论证并说明解的存在性，然后进行技能技巧的训练，加深知识观点和思想方法的理解，最后接受理论和实践的检验，学生从中获得解决实际问题的能力。

6.从“研究创新点”角度理解教学内容

通过研究该课题，得到哪些新知识点和思想方法？可以解决什么问题？能对以前的知识得到什么样的发展？显然，课题的研究创新点正是学生必须掌握的显性知识（概念公式等）以及隐性知识（思想方法等）。例如，该《公式法解一元二次方程》研究创新点，一是理论推导出求根公式，二是解决了一元二次方程“用未知数系数求解方程根的问题”（一般地，一元五次或五次以上方程的根不可以用系数根号表示的，即阿贝尔理论），三是讨论了一元二次方程解的情况，四是发现了“新数”（无理数和虚数），五是配方法、直接开平方法和降次思想等的综合应用。

由此可见，这些理解处理是把教学内容作为研究课题所阐发的知识意义、方法、思想、过程、情感等的全景图式展示，它展现了数学家研究该课题的动态过程。事实上，学生只有模拟如此的研究场景和身同感受地研究，才称得上有效学习，才能掌握人类历史积累下来的知识及其思想观点方法，才能在此过程中获得素质发展。教师借用“课题研究模式”指导自己的教学内容操作处理，有助于引导学生的探究活动，培养学生思维能力和创新意识、以及情感态度价值观。例，结合“课题研究模式”的理解与教学活动规律的要求，发掘《公式法解一元二次方程》的探究活动线索。

（1）问题情境（基于“研究背景和问题提出”）

老师：请同学们解答下列问题并讨论一元二次方程解的大致情况。

①（x-4）2=0；（2）x2-4=0；（3）x2+4=0

学生：（1）有两相等解；（2）有两不等解；（3）没有实数解。

老师：是不是一元二次方程解的情况就是（1）（2）（3）类型呢？请同学们回忆或举出一些一元二次方程，看它们

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的解是不是如上几类，或者超出以上类型。

（2）提出假设（基于“研究背景和问题提出”和“研究目的和意义”）

师生通过分析、概括和归纳，得出如下假设：

①一元二次方程最多有两解。

②一元二次方程或两解、或一解、或无解。

老师：我们得到这样的假设，有什么用呢？

（3）证明假设（基于“有关研究综述”和“研究方法与思路”）

老师：如何证明我们得到的假设呢？学过的一元二次方程求解方法中哪些可用？

学生：利用以前学过的直接开平方和配方法或许可以推导出解的公式，得到一元二次方程的解的情况。

老师：选取一元二次方程的什么形式来推证呢？为什么呢？

学生：选取一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），它具有一般性。

师生探讨：

ax2+bx+c=0（a≠0）

方程两边除以a，得.（由“1中（1）、（2）、（3）x2的系数都是1”想到）

x2+b x+c=0

配方得.（由“1中（1）中的（x-4）2=0”想到配方法）

（x+b）2-b2-4ac=0（由“1中（2）中的x2-4=0”想到）或

（x+b）2=b2-4ac（由“1中x2=4”想到直接开平方法）

当b2-4ac

4a2>0时，有x+b

2a

=x+b2-4ac

姨

2a

（类似于“1

中x2=4直接开平方得x=±2”）.

当b2-4ac

4a2=0时，有（x+b

2a

）2=0（类似于“1中

（x-4）2=0”）.

当b2-4ac

4a2<0时，有（x+b

2a

）2=b2-4ac

4a2

在实数范围

内不成立。（类似于“1中x2+4=0”）.

由合情推理与演绎推理相结合，得到如上的探索与求证过程。结果整理如下：

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况及解的公式。

①当b2-4ac>0时，ax2+bx+c=0有两不等的实解，x1，x2=x±b+-b+b2-4ac

姨。

②当b2-4ac=0时，ax2+bx+c=0有两相等的实解，x1=x2=-b。

③当b2-4ac<0时，ax2+bx+c=0无实解。

（4）结论分析（基于“研究创新点”和“研究目的和研究意义”）

师生对以上探究过程进行讨论后，得到如下结论：

①一元二次方程的解可以用未知数系数表达。

②配方法可以求解任何一元二次方程。

③降低次数是解高次方程的关键。

老师：还有没有其他结论呢？这些结论对你有何启发？

或者进一步说，这样的探讨，对学习其他内容有何建议呢？

（5）综合应用（基于“研究方法与思路”）

教师布置练习，师生或学生独立完成。

①技能训练

练习各种变式题目（尽量用多种方法求解）

②建模训练

解决有关一元二次方程的实际问题（结果可以是取近似值的根式）

（6）学生对探究的总结

教师引导学生对“原型问题、归纳假设、推理方法、结论意义，结构模式，等等”，进行研究性的反思。

由此可见，借用“课题研究模式”进行数学教学设计时，就能全面而又深刻地考虑教学内容的课题探究，尤其是通过该模式的教学内容理解和处理，发现原先发现不了的对教与学有启发价值的东西，教师由此生成指导学生探究活动的有效方法。

我们知道，数学新课程内容相对减少了，但学习目标提升了。前者为数学教学方式的改革提供了时间和空间的保障，后者为数学教学方式的改革提出了方向和质量的指导。开展学生有效的探究合作交流的教学方式，是教学理论与实践探讨的有价值课题。利用“课题研究模式”，提高教师数学教学内容理解和处理能力，不乏是在观念操作上探讨数学教学方式改革的新举措。

参考文献

郑毓信.数学教育哲学.成都：四川教育出版社，2001，9.

（责任编辑刘永庆）

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