递推的方法

第一讲递推的方法

知识要点和基本方法

有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。

例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64；

分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律：

⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。

⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。那么所求的是第六项是62=36。

我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。象这种解题方法称为递推法。

例题精讲

例1 999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？

10个9 10个9

分析我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。

9×9=81，有1个奇数；

99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数；

999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数；

……

从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。

10个9 10个9

例2 如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？

1 2 3 4 5 6 7 8 B

分析先从AB之间只有一个点开始，在逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。

我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。

AB之间只有1个点：线段有1+2=3条。

AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6条。

AB之间只有3个点：线段有1+2+3+4=10条。

AB之间只有4个点：线段有1+2+3+4+5=15条。

……

不难发现，当AB之间有8个点时，线段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45条。

若再进一步研究可得出这样得规律，线段数=点数×（点数-1）÷2。

例3 计算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。

分析这是一道特殊的计算题，当然我们可以采用分别求出每个数的立方是多少再求和计算出这题的结果。这样的计算工作量比较大，是否可以采用其它较简便的方法计算呢

下面我们就来研究这个问题。

13+23=（1+2）2；

13+23+33=（1+2+3）2；

13+23+33+43=（1+2+3+4）2 ；

……

这样我们可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103

=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2

= 552

= 3025

通过这个例题我们可以得到13+23+33++……+n3=（1+2+3+…+n）2

例4 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从右到左按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的人离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：最后留下的这个人原来的号码是多少？

分析我们通过前几次留在队伍中的学生的编号找出规律。

第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……；都是2的倍数。即21的倍数第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……；都是4的倍数，即22的倍数第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。即23的倍数……

由于210=1024＜2000＜211=2048；

这样可知，最后留下学生的号码一定是1024。

例5 圆周上两个点将圆周分为两半，在这两点上写上数1；然后将两段半圆弧对分，在两个分点上写上相邻两点上的数之和；再把4段圆弧等分，在分点上写上相邻两点上的数之和，如此继续下去，问第6步后，圆周上所有点上的之和是多少？

分析先可以采用作图尝试寻找规律。

第一步，圆周上有两个点，第二步有四个点，第三步有八个点，第四步有十六个点，……，第六步有32个点。

1

因为问题是求圆周上所有数的和，所以我们不必去考虑每一步具体增加了哪些数，只须知道每一步增加数的总和是多少。

第一步：圆周上有两个点，两个数的和是1+1=2；

第二步：圆周上有四个点，四个数的和是1+1+2+2=6；增加数之和恰好是第一步圆周上所有数之和的2倍。

第三步：圆周上有八个点，八个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加数之和恰好是第二步数圆周上所有数之和的2倍。

第四步：圆周上有十六个点，十六个数的和是1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，

增加数之和恰好是第三步数圆周上所有数之和的2倍。

……

这样我们可以知道，圆周上所有数之和是前一步圆周上所有数之和的3倍。用递推法关系表示。

设a n为第n步后得出的圆周上所有数之和，则

a n=3×a n－1

利用上式可以得到：

a n=3×a n－1=3×3a n－2=3×3×3a n－3=……=3×3×……×3a1

（n－1）个3

因为a1=2，所以：

a n=3×3×……×3a1=3（6-1）×2=486。

（n－1）个3

例6 4个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方式？

分析设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方式有a n种。可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次传球都有3种可能，由乘法原理，共有3×3×……×3=3（种）传球方法。这些传球方式并不是符合要求的，它们可以（n－1）个3

分为两类，一类是第n-1次恰好传到甲手中，这有a n-1传法，它们不符合要求，因为这样第n次无法再把球传给甲；另一类是第n-1次传球，球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有a n传法。根据加法原理，有a n-1+a n=3×3×……×3=3n-1。

（n－1）个3

由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方式是不存在的，所以a1=0。

利用递推关系可以得到

a2=3-0=3，

a3=3×3-3=6，

a4=3×3×3-6=21，

a4=3×3×3×3-21=60。

这说明经过5次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有60种。

当然这题也可以利用列表法求解。

我们可以这样想，第n次传球后，球不在甲手中的传球方法，第n+1次传球后球就可能

回到甲手中，所以只需求出第四次传球后，球不在甲手中的传法共有多少种。

从图中可以看出经过四次传球后，球仍回到甲手中的传球方法共有60种。

A 组

1、根据各数间的关系，在括号填上一个恰当的数。 ⑴1，2，6，24，（ ），720； ⑵1，2，4，7，11，16，（ ）； （1）⑴120 ⑵22

2、19991999的末位数字是几？ （2）19991的末位数字是9； 19992的末位数字是1； 19993的末位数字是9； 19994的末位数字是1；

9n 次方积的末位数字是9，1，9，1，…变化。

所以当n=奇数时，末位数字是9。 当n=偶数时，末位数字是1。

n=1999是奇数，所以19991999的末位数字是9。

3、如图，从A 到B 最短的线路有几条？

（3）最短路线，指的是从A 到B 只能向右或向上走。

在每个路口，用数字表示A 点到该路口的最短的

线路的条数，而且每一个路口数字恰好是到这个路口的

前面路口的数字和，这样我们标上到各路口最短线路数，

不难推出，从A 到B 的最段路线有20条。（如图）

传球的方法 球在甲手中 的传球方法 球不在甲手中

的传球方法 第n 次

传球 3 0 3 1 9 3 6 2 27 6 21 3 81 21 60 4 243

60

183

5

1 1

10 20

4、一千人排成一行，依次从左到右编上1～1000号，然后从左到右按一、二报数，报一的人离开队伍。剩下的人仍按一、二报数，报一的人离开队伍，……，如此下去。当剩下最后一人时，一共报了多少次？最后剩下的一个人原来的号码是多少？

（4）第一次留下的学生编号是：2，4，6，8，10，……； 都是2的倍数。即21的倍数

第二次留下的学生编号是：4，8，12，16，20，……； 都是4的倍数，即22的倍数 第一次留下的学生编号是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍数。即23的倍数 ……

由于29=512＜1000＜210=1024；所以一共报了9次。 最后留下学生的号码一定是512号。（29=512）

5、平面上有8个圆，最多能把平面分成几部分？ （5）

6、平面上有一条直线，把平面分成两部分，两条直线最多可把平面分成四部分，三条直线最多可把平面分成七部分，四条直线最多可把平面分成11部分，那么十条直线最多可把平面分成多少部分？ （6）

7、 、 、 、 、……按这样的规律排着一列数。请你照找出它的规律，然后写出第1990个数。

（7）观察分母，分母具有这样的规律： 第一个分母是 2=12+1； 第二个分母是 5=22+1； 第三个分母是10=32+1； 第四个分母是17=42+1； ……

第1990个分母是19902+1=390101；

所以第1990个分数是 。

1 2 1 5 1 10 1

17 圆的个数 分成部分 1 2 2 4 3 8 4 14 5 22 6 32 7 44 8 58 直线条数 分成部分 1 2 2 4 3 7 4 11 5 16 6 22 7 29 8 37 9 46 10 56 1

390101

B 组

8、 如右图所示，是一个街区的道路图。某人沿着箭头的方向 行走一周，从A 点出发后回到A 点。问他一共有多少种不同的 走法。 （8）89种

9、一个自然数的末位数字是2，将其末位数字的2移到首位得到一新数，它是原数的2倍，原数最小是多少？

（9）可利用竖式进行逆推： …dcba2 × 2 2……dcba 经过推算：得105263157894736842。

10、将一个圆形的纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线？

（10）设至少需要画n 条直线，根据直线与纸片被划分的部分数关系， n （n+1）÷2≥50，n=10，至少需要画10条直线。

11、一条绳子对折后从中间剪一刀，再把其中一根对折从中间剪一刀，再把其中一根对折从中间剪一刀，这样剪1987次后，这条绳子变为了多少段？

（11）每剪一刀，增加2段，所以剪1987次，这绳子变为1+1987×2=3975（段）。

12、如下图，在2×2方格中，画一条之间最多可穿过3个方格，在3×3方格中，画一条直线最多可穿过5个方格。那么在10×10的方格中，画一条直线最多可穿过几个方格？

（12）一条直线穿过n ×n 方格，最多可穿过（2n －1）个方格。 所以这条直线最多能穿过2n －1=2×10－1=19（个）方格。

13、对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算“*” a*b=a （a+1）（a+2）…（a+b －1）。

如果（X*3）*2=3660，那么X 等于几？

（10）设（X*3）=A ，根据题意有A （A+1）=3660，因为60×61=3663，所以A=60， （X*3）=X （X+1）（X+2）=60，因为3×4×5=60，所以X=3。

13、一张圆形纸被对折成一个半圆形，在半圆形上画两条 直线，然后沿直线剪两刀，最多能将纸片分成几块？

（13）7块，如图所示。

14、如图所示，在正六边形A 周围画出6个同样的正六边形 （阴影部分），围成第1圈；在第1圈外面再画出12个同样 的正六边形，围成第2圈。按这个方法继续画下去，当画完

第10圈时，图中共有多少个与A 相同的正六边形？ （14）第一圈有6个正六边形； 第二圈有6×2个正六边形； 第三圈有6×3个正六边形； ……

第n 圈有6×n 个正六边形；

所以图中共有1+6×（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）=331个正六边形。

15、一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多能把平面分成几部分？ （15）一个长方形能把平面分成2部分。

当第二个长方形与第一个长方形边与边相交，可以有8个交点，增加了8个部分，所以两个长方形能把平面分成2+8=10部分。

当第三个长方形与平面上两个长方形相交，最多有16个交点，可以增加16部分，所以三个长方形能把平面分成10+16=26部分。

16、假设刚出生的雌雄小兔过两个月就能生下一对小兔，此后每月生下一对小兔。如果养了初生的一对小兔。问满一年时共可得多少对兔子？ （16）第一个月：只有一对小兔。

第二个月：一对小兔长大，但不会生殖。仍只有一对兔子。 第三个月：这对大兔生了一对小兔，这时共有2对兔子。 第四个月：大兔子又生了一对小兔，而上月生的小兔不会生殖，所以这时有3对兔子。 第五个月：这时已经有2对兔子可以生殖，于是生了2对小兔，此时共有5对兔子。 …… 把推算结果列表

所以满一年时共有144对兔子。

测试题

月份数 1 2 3 4 7 8 5 6 9 10 11 12 兔对数 1 1 2 3 13 21 5 8 34 55 89 144

1、下列数是按一定规律排列的。

3、8、15、2

4、3

5、48、63、……，那么，它的第36个数是（ ）。

（1）这列数规律是第n 个数是（n+1）2－1。所以第36个数是（36+1）2－1=1368。

2、右图中最上面的空格中应填（ ）。 （2）61 3

、333…33×333…33的乘积中有几个数字是奇数？

（3）10个

4、把一张长16厘米、宽8厘米的长方形纸对折后裁 成两半，再把其中的一张对折并裁成两半，…，继续 这样裁下去，直到得到两个边长为1厘米的正方形纸 片为止。一共需要裁（ ）次。

（4）每次裁一次面积减少一半，16×8=27，所以需要裁7次。

5、如图，从A 点到B 点，最短路线共有多少条？

（5）如图，共有10条最 短路线

6、将一根绳子连续对折3次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪了6刀。这样原来的绳子被剪成（ ）段。

（6）考虑绳子被对折后形成的弯。

绳子对折3次，绳子共折成8段，其中弯有7个弯。

绳子被剪6刀，即每段绳子被剪成7段，这样绳子共被剪成56段，由于有7个弯，把两段绳子连在一起，所以原来的绳子被剪成56－7=49段。

7、在一张四边形纸上共有10个点，如果把四边形的顶点算在一起，则一共有14个点。已知这些点中的任意三个点都不在同一直线上。按照下面规定把这张纸片剪成一些三角形： ⑴每个三角形的顶点都是这14个点中的3个； ⑵每个三角形内都不再有这些点。

那么，这张四边形的纸最多可以剪出（ ）个三角形。

（7）在10个点中任意取一点，与四边形的四个顶点构成4个三角形。再在剩下的9个点中任意取一点，它必定落在某一个三角形中，只能与三角形的三个顶点构成三个三角形，即增加2个三角形。以后各点情况都与此相同。除了第一点增加4个三角形外，其余各点都只增加2个三角形。

A

B A B 1 1 1

1 2 1

2 3 2 2 4 7 1

3 10 10个3 10个3

所以共可以剪出4+（10－1）×2=22（个）三角形。

8、某公共汽车线路上共有15个车站（包括起点站和终点站）。在每个站上车的人中，恰好在以后各站下去一个。要使行驶过程中每位乘客都有座位，车上至少要备有多少个座位？ （8）

从表中可以看出车上人数最多是56人，所以车上至少要准备56个座位。

9、在平面内画五条直线和一个圆，最多能把平面分成多少部分？ （9）

可见，在平面内画五条直线和一个圆，最多能把平面分成10+16=26部分。 10、一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”后一个三位数，例如543吃掉432。543吃掉543。但是543不能吃掉534。那么能吃掉587的三位数共有多少个？

（10）百位上有5、6、7、8、9五种选择，十位上有8、9两种选择，个位上有7，8，9三种选择，所以共有5×2×3=30（个）三位数。

11、1本书编上页码，如第8页需要1个数码，第109页需要3个数码等等，这样共需7825个数码，这本书共有多少页？

（11）从第1页编到999页共用去9+180+2700=2889个数字，剩下的7825－2889=4936个数码编四位数，能编4936÷4=1234个四位数码，所以这本书共有999+1234=2233（页）。

12、五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲手中。问：共有多少种传球方式？

（12）第n 次传球 传球共有的方式 不在甲手中方式 在甲手中方式 1 4 4 0 2 16 12 4 3 64 52 12 4 256 204 52 所以共有52种传球方式。

车站 1 2 3 4 7 8 5 6 9 10 上车人数 14 13 12 11 8 7 10 9 6 5 下车人数 0 1 2 3 6 7 4 5 8 9 车上人数 14 26 36 44 56 56 50 54 54 50 …… …

… 直线条数 圆内部分 圆外部分 1 2 3 4 5 2 4 7 11 16 2 4 6 8 10

常见递推数列通项九种求解方法

常见递推数列通项地九种求解方法 高考中地递推数列求通项问题,情境新颖别致,有广度,创新度和深度,是高考地热点之一.是一类考查思维能力地好题.要求考生进行严格地逻辑推理,找到数列地通项公式,为此介绍几种常见递推数列通项公式地求解方法. 类型一：<可以求和）累加法 例1、在数列中,已知=1,当时,有,求数列地通项公式. 解读： 上述个等式相加可得： ∴ 评注：一般情况下,累加法里只有n-1个等式相加. 【类型一专项练习题】 1、已知,<）,求. 2、已知数列,=2,=+3+2,求. 3、已知数列满足,求数列地通项公式. 4、已知中,,求. 5、已知,,求数列通项公式. 6、已知数列满足求通项公式？ 7、若数列地递推公式为,则求这个数列地通项公式 8、已知数列满足,求数列地通项公式. 9、已知数列满足,,求. 10、数列中,,<是常数,）,且成公比不为地等比数列．

答案:1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.(1>2 (2> 11.(1>5 (2> 类型二： <可以求积）累积法 例1、在数列中,已知有,(>求数列地通项公式. 解读： 又也满足上式； 评注：一般情况下,累积法里地第一步都是一样地. 【类型二专项练习题】 1、已知,(>,求. 2、已知数列满足,,求. 3、已知中,,且,求数列地通项公式. 4、已知,,求. 5、已知,,求数列通项公式. 6、已知数列满足,求通项公式？ 7、已知数列满足,求数列地通项公式. 8、已知数列{a n},满足a1=1, (n≥2>,则{a n}地通项 9、设{a n}是首项为1地正项数列, 且(n + 1>a- na+a n+1·a n = 0 (n = 1, 2, 3, …>,求它地通项公式. 10、数列地前n项和为,且,＝,求数列地通项公式. 答案：1. 2. 3. 4. 5. 6.

九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。

1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。

递推方法

递推方法 教学目标： 知识目标：掌握用递推方法解决计数问题、求值问题，研究数的 性质等等。 能力目标：通过递推思想方法的培养，发展学生的解题能力，创 新能力。 情感目标：培养学生学习数学的兴趣，磨练学生的意志品质。 教学重难点： 重点在于建立递推关系；难点为如何运用分类思想找 数列相邻项间的联系。 教学过程： 一、在计数问题中的应用 1212n n ??例、 的棋盘用张的长方形纸片覆盖，有多少种方法把棋盘完全盖住？ 210001000ABC A B C ?例、 在的内部有个点，以顶点、、和这个点能把原三角 形分割成多少个小三角形？ ()() 121131,21=122,1,2, 1.20013n i i a a a n f n a a a i n f +??????-≤=???-例、 用、，，表示正整数，，的任意一个排列，设为这些排列 的数目，使得： （）； （），问： 能否被整除？

二、在求值问题中的应用 410().+i i j j 例、 一枚均匀的硬币掷次，从不接连出现正面的概率为既约分数求 22553344375,.16 42ax by ax by a b x y ax by ax by ax by +=??+=?+?+=??+=? 例、 设实数、、、满足方程组：求 三、运用递推关系研究数的性质 6sin cos sin cos n n n Z θθθθ++∈例、 若是有理数，证明：也是有理数（）. 20012001722233. n n P P P ??例、 将一个个方格的带形的某些格中染上颜色，使得任何的方格中都 没有完全染上颜色.以来记所有满足条件的不同染色法的数目.证明： 能被整除，并求能整除的的最高次幂 2813 4.n n a N N n a 例、 设为下述正整数的个数，的各位数字之和为且每位数字只能取、或求证：是完全平方数. 课堂小结： 课后练习：习题 课后反思：

谈递推法的几种应用方法

谈递推法的几种应用方法 摘要：利用递推法关系解决数学问题的方法，成为递推法. 所谓递推关系，通常是指一个数列{}n a 的第n 项n a 与前面k 个项12,,,n n n k a a a ---???，（k 为正整数，k n <）之间的关系： ()12,,,n n n n k a f a a a ---=???（ n k >） 这里，f 是关于12,,,n n n k a a a ---???的k 元函数，通常称为递归函数；递推关系，也常称为k 阶递归方程. 关键字:递推法,组合数,列举累乘法,列举累加法,列举归纳猜想法,不动点法和换 元法. 递推法的应用及证明步骤: 递推法也常用以处理正整数为状态函数的数学问题，诸如递归数列的通项问题，与数列有关的计算问题，证明问题，等等. 应用递推法解答数学问题，一般包括两个步骤： 第一步：建立递推关系.根据问题的特点，通过观察，试验，归纳，猜想等思维活动，寻求递推关系. 第二步：求递推关系.初始值和相应的递推关系，求得所需的结论. 例1：计算两类带组合数k n C 和k n k C +的幂和()1 n k m m n k S n C k ==∑，()1 n k m m n k k U n C k +==∑. 解：[1]建立如下两个递推关系： 此后，有些读者仍沿着这个途径做相关问题的探讨，如文[2]. 事实上，利用上面的递推公式，计算()1m S n +与()1m U n +时，我们需要用到 ()()1,,m S n S n ???与()()1,,m U n U n ???的表达式，计算量是非常大的. 本文给出两个简单的递推关系，利用他们计算出()1m S n +与()1m U n +时，我们反需用到()m S n 与()m U n 的表达式. 定理1：设m 为任意的自然数，n 为大于1的任意整数，则()11m S =， ()()()()11m m m S n n S n S n +=--.

递推数列常十种方法

求递推数列通项公式的十种策略例析 递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式 例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 解：n n 1n 23a 2a ?+=+两边除以1n 2+，得 23 2a 2a n n 1 n 1n + = ++，则232 a 2a n n 1n 1n =-++， 故数列}2a { n n 是以1222 a 1 1==为首，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23) 1n (12a n n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 2)2 1 n 23(a -=。 评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ?+=+转化为 2 3 2a 2a n n 1 n 1n = -++，说明数列}2a {n n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12 a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。 二、利用累加法求通项公式 例2 已知数列}a {n 满足1a 1 n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+ 则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---Λ

由递推公式求通项的9种方法经典总结

精析由递推公式求通项的9种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型 把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1 n 2＋n ，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝ 1 n 2＋n ＝ 1 n n ＋1＝1 n －1 n ＋1 ，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋ (a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ???? 1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1 n . 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1 n . 2．a n ＋1＝f (n )a n 型 把原递推公式转化为 a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘 法)求解，即由a 2a 1 ＝f (1)，a 3a 2 ＝f (2)，…， a n a n －1 ＝f (n －1)，累乘 可得a n a 1 ＝f (1)f (2)…f (n －1)．

[例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n . [解] 由a n ＋1＝ n n ＋1 ·a n ，得 a n ＋1a n ＝ n n ＋1 ， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2 n －1×…×12×23＝23n .即a n ＝2 3n . 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝q p －1 ，可令a n ＋1 ＋t ＝b n ＋1换元即可转化为等比数列来解决． [例3] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求a n . [解] 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，则 t ＝－3. 故递推公式为a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)． 令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且 b n ＋1b n ＝ a n ＋1＋3a n ＋3 ＝2. 所以{b n }是以b 1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝4×2n －1＝2n ＋1，即a n ＝2n ＋1－3. 4．a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 (1)一般地，要先在递推公式两边同除以q n ＋1，得 a n ＋1q n ＋1 ＝ p q ·a n q n ＋1 q ，引入辅助数列{b n }? ????其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1 q ，

几类常见递推数列的解题方法

叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化 ——几类常见递推数列的教学随笔 已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法． 一、叠加相消． 类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n ）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消． 例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) = 2 1 [1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n ， 求通项公式a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(2 1 +=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ． 二、叠乘相约． 类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p p c mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z ）或 n n a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n ( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)． 例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴1 1+=+n n a a n n ∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112 12 31 2111 23 22 11 =???--?--?-=?????=----- 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n = 2 n a n ( n ∈N * ), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ．

由递推公式求通项的9种方法经典汇总

由递推公式求通项的9种方法经典汇总

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

精析由递推公式求通项的9种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型 把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n ，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1 ，则(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝????1－12＋????12－13＋????13－14＋…＋? ?? ??1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1n . 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1n . 2．a n ＋1＝f (n )a n 型 把原递推公式转化为a n ＋1a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1 ＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝f (1)f (2)…f (n －1)． [例2] 已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝n n ＋1·a n ，求a n . [解] 由a n ＋1＝n n ＋1 ·a n ，得a n ＋1a n ＝n n ＋1， 故a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ×n －2n －1 ×…×12×23＝23n .即a n ＝23n . 3．a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)型 对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为a n ＋1＋t ＝p (a n ＋t )，比较系数可知t ＝ q p －1 ，可令a n ＋1＋t

第十四讲递推方法

第十四讲递推方法 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则 a n+1=a n+1 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。由此可得 a n＋2=a n＋1＋1， 这样就可以得到自然数数列中任何一个数 再看一个例子： 例1 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 解： 假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….如图可见。 a0＝1 a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 … 归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1） 即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部

分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成： a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，不能直接用上面公式了，可把上面的递推公式变形： ∵a n=a n-1+n=n n-2＋（n-1）＋n =a n-3+（n-2）＋（n-n）+n 公式（2）也称为数列1，2，4，7，11，16，…的通项公式. 一般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项a n可以由它前面的k（≤n-1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这个数列为递归数列.如果这种推算方法能用公式表示出来，就称这种公式为递推公式或递推关系式.通过寻求递归关系来解决问题的方法就称为递推方法.许多与自然数有关的数学问题都常常具有递推关系，可以用递推公式来表达它的数量关系.如何寻求这个递推公式是解决这类问题的关键之一，常用的方法是“退”到问题最简单情况开始观察.逐步归纳并猜想一般的速推公式.在小学生阶段，我们仅要求学生能拨开问题的一些表面现象由简到繁地归纳出问题的递推公式就行了，不要求严格证明.当然能证明更好.所谓证明，就是要严格推出你建立的关系式适合所有的n，有时，仅仅在前面几项成立的关系式，不一定当n较大时也成立。 例2 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？平面上1993个圆最多能将平面分割成多少个区域？ 解：设平面上k个圆最多能将平面分割成a k部分.我们先“退”到最简单的情形.如图可见

最全的递推数列求通项公式方法

高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 1 11-=- 211=a ，n n a n 1231121-=-+=∴ 变式:（2004，全国I ，个理22．本小题满分14分） 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式. 解： k k k a a )1(122-+=-，k k k a a 3212+=+ ∴k k k k k k a a a 3)1(312212+-+=+=-+，即k k k k a a )1(31212-+=--+ ∴)1(313-+=-a a ， 2235)1(3-+=-a a …… …… k k k k a a )1(31212-+=--+ 将以上k 个式子相加，得 ]1)1[(2 1 )13(23])1()1()1[()333(22112--+-=-+???+-+-++???++=-+k k k k k a a 将11=a 代入，得

递推法解题

递推法解题 基础知识 对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。 利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中 最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1;即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数. 再看一个例子： 平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，…. a0＝1 a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 … 归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1） 即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应 和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线 段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条 直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段. 而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等 于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1） 是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成： a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。 要想求出100条直线最多能把圆内分成多少区域，就去求通项公式。 一般来说，如果一个与自然数有关的数列中的任一项a n可以由它前面的k（≤n-1）项经过运算或其他方法表示出来，我们就称相邻项之间有递归关系，并称这个数列为递归数列.

十四讲递推的方法

第14讲 递推的方法 一、知识要点和基本方法 有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题． 例如：按规律填数：l ，4，9，16，25，（ ），49，64． 分析：要在括号内填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律．若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律： （1）先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25＋11—36，再看36十13—49得到验证． （2）如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方……从这些事实中，发现规律是第n 项是n 的平方．那么所求的是第六项是62＝36． 我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数．像这种解题方法称为递推法． 二、例题精讲 例1 109109 999999999999?????? 个个的乘积中有多少个数字是奇数？ 分析 我们可以从最简单的99的乘积中有几个奇数着手寻找规律。 9×9=81，有1个奇数； 99×99=99 ×（100－1）=9900－99=9801，有2个奇数； 999×999=999 ×（1000－1）=999000－999=998001，有3个奇数； ······ 从而可知，109109 999999999999?????? 个个的乘积中共有10个数字是奇数． 例2 如图所示：线段AB 上共有10个点（包括两个端点），那么这条 线段上一共有多少条不同的线段？ 分析 先从AB 之间只有一个点开始，逐步增加AB 之间的点数，找出点和线段之间的规律． 我们可以采用列表的方法清楚地表示出点和线段数之间的规律． AB 之间只有1个点：线段有1＋2＝3条． AB 之间只有2个点：线段有1＋2＋3＝6条． AB 之间只有3个点：线段有1＋2＋3＋4＝10条． AB 之间只有3个点：线段有1＋2＋3＋4＋5＝15条． ······ 不难发现，当AB 之间有8个点时，线段有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45条． 若再进一步研究可得出这样的规律，线段数=点数×（点数－1）÷2． 例3 计算333333333312345678910+++++++++的值．

由递推公式求通项的9种方法经典总结

精析由递推公式求通项的9种方法 1．a n ＋1＝a n ＋f (n )型 把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)． [例1] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1 n 2＋n ，求a n . [解] 由条件，知a n ＋1－a n ＝ 1n 2＋n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1 ，则(a 2 －a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝? ????1－12＋? ????12－13＋? ??? ? 13－14＋…＋? ???? 1n －1－1n ， 所以a n －a 1＝1－1n . 因为a 1＝12，所以a n ＝12＋1－1n ＝32－1 n . 2．a n ＋1＝f (n )a n 型 把原递推公式转化为a n ＋1 a n ＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求 解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a 2＝f (2)，…，a n a n －1＝f (n －1)，累乘可得a n a 1＝ f (1)f (2)…f (n －1)．

[例2] 已知数列{a n}满足a1＝2 3，a n＋1＝ n n＋1 ·a n，求a n. [解] 由a n＋1＝ n n＋1 ·a n，得 a n＋1 a n ＝ n n＋1 ， 故a n＝ a n a n－1 · a n－1 a n－2 ·…· a2 a1 ·a1＝ n－1 n × n－2 n－1 ×…× 1 2 × 2 3 ＝ 2 3n .即 a n＝2 3n . 3．a n＋1＝pa n＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型 对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写 为a n＋1＋t＝p(a n＋t)，比较系数可知t＝ q p－1 ，可令a n＋1＋t＝b n＋1换 元即可转化为等比数列来解决． [例3] 已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋3，求a n. [解] 设递推公式a n＋1＝2a n＋3可以转化为a n＋1－t＝2(a n－t)，即a n＋1＝2a n－t，则t＝－3. 故递推公式为a n＋1＋3＝2(a n＋3)． 令b n＝a n＋3，则b1＝a1＋3＝4，且b n＋1 b n ＝ a n＋1＋3 a n＋3 ＝2. 所以{b n}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列．所以b n＝4×2n－1＝2n＋1，即a n＝2n＋1－3. 4．a n＋1＝pa n＋q n(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型

由递推公式求通项的9种方法经典总结,推荐文档

精析由递推公式求通项的 9种方法 1. a n +1= a n + f(n)型 把原递推公式转化为 a n +1 — a n = f(n),再利用累加法(逐差相 力口法)求解，即 a n = a i + (a 2 — a i ) + (a 3 — a 2)+ …+ (a n — a n — i ) = a i + f(1)+ f(2)+ f(3) + …+ f(n — 1). 1 1 、 ［例 1］ 已知数列｛ a n ｝满足 a 1=T ，a n + 1 = a n + -，求 a n . 2 n + n 1 1 1 1 ［解］ 由条件，知 a n +1 — a n =二 = =-一 ，贝U (a 2— a” + (a 3— a 2) + (a 4 — a 3) n 2+ n n n + 1 n n + 1 1 1 1 1 1 1 _1 + ???+ (a n — a n — 1) = 1 -2 + 2一 3 + 3一 4 +…+ n 一 厂 n ， 1 所以 a n — a 1 = 1 — 1 1 13 1 因为 a 1 =夕 所以 a n = 2+ 1 — = 2— 2. a n +1 = f(n)a n 型 把原递推公式转化为 归=f(n),再利用累乘法(逐商相乘法) a n 求解，即由a 2= f(1),空=f(2)= f(n —1)，累乘可得色= a 1 a 2 a n —1 a 1 f(1)f (2)…f(n — 1). 2 n ［例2］ 已知数列｛ a n ｝满足a 1 = 3, a n +1 =门+〔 a n ,求a n . 翌 a 1 = 1 x 1 x 2= ■.即卩 a n =右. a 1 n n — 1 2 3 3 n 3n a n +1 = a n , a n +1 a n n + 1’ a n a n —1 a n = ? a n —1 a n —2

一、递推的方法

一、递推的方法 在不少计数问题中，要很快求出结果是比较困难的，有时可先从简单情况入手，然后从某一种特 殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，找出规律逐步解决问题，这样的方法叫递推方 法。 例2 计算13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103的值。 这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。 13＋23＝9＝32＝(1＋2)2 13＋23＋33＝36＝62＝(1＋2＋3)2 13＋23＋33＋43＝100＝102＝(1＋2＋3＋4)2 …… 这样我们可以得到：13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103 ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)2

＝552＝3025 所以 13＋23＋33＋……＋ｎ3＝(1＋2＋3＋……＋ｎ)2 例3 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，……按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？ 难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析， 试着找出规律，然后再用这个规律来解题。 这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、 12、14、16、18、20，都是2的倍数。 第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4 的倍数，也就是2×2的倍数。 第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数， 也就是2×2×2的倍数。 第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2 的倍数。 由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。 2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢? 第一次：2000÷2＝1000 第二次：1000÷2＝500 第三次：500÷2＝250 第四次：250÷2＝125 第五次：125÷2＝62 ……1第六次：62÷2＝31 第七次：31÷2＝15 ......1第八次：15÷2＝7 (1) 第九次：7÷2＝3 ......1第十次：3÷2＝1 (1) 所以共需报10次数。 那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是： 2×2×2×…×2＝1024（号） 例4 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？ 直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。 一个圆最多将平面分为2部分； 二个圆最多将平面分为4部分； 三个圆最多将平面分为8部分；（如右图） 当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点 将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分 的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。 同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最 多将平面分为2＋2＋4＝8部分。 由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。 类型一：1()n n a a f n +=+（()f n 可以求和） ????→解决方法 累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。 解析： 121(2)n n a a n n --=-≥ ∴21324311 3 521 n n a a a a a a a a n --=??-=?? -=???-=-?? 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴= 评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。 【类型一专项练习题】 1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。 2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。 3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。 5、已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 6、 已知数列{}n a 满足11,a =()1 132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a ？ 7、若数列的递推公式为1* 113,23()n n n a a a n N ++==-?∈，则求这个数列的通项公式 8、 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 9、已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 10、数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （I ）求c 的值； （II ）求{}n a 的通项公式．

递推数列求通项的几种常见方法

递推数列求通项的几种常见方法 一般地，若数列{a n }的连续若干项之间满足递推关系a n = f( a n-1 ，a n-2 ，…，a n-k )由这个递推关系及k 个初始值确定的数列，叫做递推数列。递推数列的重点、难点问题是求通项。求递推数列通项的方法较多、也比较灵活，基本方法如：迭加法；迭乘法；转化为等差、等比数列求通项法；归纳——猜想——证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。 一、型如a n+1=a n +f(n)可用迭加法求通项 例1 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +2n ，求通项a n 。 解：由递推公式得 a n -a n-1=2(n -1) a n-1-a n-2=2(n -2) …… a 3-a 2=2·2 a 2-a 1=2·1 以上（n-1）个等式相加得a n -a 1=2[(n-1)+(n-2)+ …+2+1]=2· 2)1(-n n =n(n-1) 又a 1=1 ∴a n =1+n(n-1)=n 2-n+1 注：一般地，f(n)可分解成等差数列、等比数列求和（或常用的数列和公式，如12+22+32+…+ n 2=)12)(1(6 1++n n n 等）。 二、型如a n+1=f(n)a n (f(n)不是常数)可用迭乘法求通项 例2 已知数列{a n }中，a 1= 21，S n =n 2a n ，求通项a n 。 解：当n ≥2时 a n =S n - S n-1=n 2a n - (n -1)2a n-1 ?111+-=-n n a a n n ∴3112=a a 4223=a a 5334=a a 6445=a a …… n n a a n n 22 1-=-- 1 11+-=-n n a a n n 以上 (n -1)个等式相乘得 112645342311+-?-?????=n n n n a a n ?) 1(21+=n n a a n ?a n =)1(1+n n (n ≥2) ∵ a 1=21适合上式 ∴a n =) 1(1+n n 。 注：一般地，数列a n+1=f(n)a n ，f(n)是分式的形式，且是n 的关系式。 三、型如a n+1=pa n +f(n) (p 为常数且p ≠0, p ≠1)可用转化为等比数列等 (1) f(n)= q (q 为常数)，可转化为a n+1+k=p(a n +k)，得{ a n +k }是以a 1+k 为首项，p 为公比的等比数列。 例3 已知数列{a n }中，a 1=1，a n+1=3a n +2，求通项a n 。

递推的方法

第一讲递推的方法 知识要点和基本方法 有时，我们会遇上一些具有规律性的数学问题，这就需要我们在解题时根据已知条件尽快地去发现规律，并利用这一规律去解决问题。 例如：按规律填数：1，4，9，16，25，（），49，64； 分析：要在括号填上适当的数，就要正确判断出题目所呈现出的规律。若你仔细地观察这一数列，就会发现这些数之间的规律： ⑴先考虑相邻两个数之间的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相邻两数的差从3开始呈现递增2的规律，所以括号里的数应是25+11=36，再看36+13=49得到验证。 ⑵如果我们换一个角度去考虑，那么我们还可以发现，这数列的第一项是1的平方，第二项是2的平方，第三项是3的平方，……，从这些事实中，发现规律是第n项是n的平方。那么所求的是第六项是62=36。 我们把相邻数之间的关系称为递归关系，有了递归关系可以利用前面的数求出后面的未知数。象这种解题方法称为递推法。 例题精讲 例1 999…999×999…999的乘积中有多少个数字是奇数？ 10个9 10个9 分析我们可以从最简单的9×9的乘积中有几个奇数着手寻找规律。 9×9=81，有1个奇数； 99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2个奇数； 999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3个奇数； …… 从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个数字是奇数。 10个9 10个9 例2 如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点）那么这条线段上一共有多少条不同的线段？ 1 2 3 4 5 6 7 8 B 分析先从AB之间只有一个点开始，在逐步增加AB之间的点数，找出点和线段之间的规律。 我们可以采用列表的方法清楚的表示出点和线段数之间的规律。 AB之间只有1个点：线段有1+2=3条。 AB之间只有2个点：线段有1+2+3=6条。 AB之间只有3个点：线段有1+2+3+4=10条。