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2006年课改实验区中考数学中的格点图形 (4)

2006年课改实验区中考数学中的格点图形

网格是学生从小就熟悉的图形,在网格中研究格点图形,具有很强的可操作性,这和新课程的理念相符合,因此它也成为近几年新课程中考的热点问题.

格点图形问题常见的题型有:

一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 【例1】(2006,大连)如图,在平面直角坐标系中,点E 的坐标是( ).

A .(1, 2) ;

B .(2, 1) ;

C .(-1, 2) ;

D .(1,-2).

图 1

[解析] 过点E 向x 轴画垂线,垂足在x 轴上对应的实数是1,因此点E 的横坐标为1;同理,过点E 向y 轴画垂线,

点E 的纵坐标为2.所以点E 的坐标为(1, 2).选A . 【例2】(2006,苏州)如图,围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋.为记录棋谱方便,横线用数字表示,纵线用英文字母表示,这样,黑棋①的位置可记为(C ,4),白棋②的位置可记为(E ,3),则白棋⑨的位置应记为___________ .

78

[解析] 这是一道用两个有序量来表达点的位置的情景题目,题目已经确定了两个量的顺序,因此白棋⑨的位置应记为(D ,6).

【例3】(2006,青岛) 已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示,如果△A'B'C' 与△ABC 关于y 轴对称,那么点A 的对应点A'的坐标为( ).

A .(

-4,2); B .(-4,-2); C .(4,-2); D .(4,2) .

[解析] 根据轴对称的性质, y 轴垂直平分线段AA',因此点A 与点A'的横坐标互为相反数,纵坐标相等.点A(-4,2) ,因此A'(4,2).选D .

二、在网格中运用勾股定理进行计算.

【例4】(2006,河北)图7是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中

所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m .(结果保留根号)

[解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的,网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形,可以看到,AB 、BC 分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边,容易计算

AB+BC= 【例5】(2006,海南)三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则sinα的值是( ).

A . 4

3; B . 34 ; C . 53 ; D . 54

α

[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义,首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长.一般情况下,为了减小计算量,把小正方形的边长设为1.选C .

【例6】(2006,福州)如图5,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC ,则AC 边上的高是( ).

A

; B

; C

; D

. A

B

C

[解析] 这是一道比较复杂的计算题,要借用△ABC 的面积来计算AC 边上的高.以AC 、AB 、BC 为斜边的三个直角三角形的面积分别为1、1、1

2

,因此△ABC 的面积为

32;用勾股定理计算AC

因此AC

C .

【例7】(2006,苏州)如图1,直角坐标系中,△ABC 的顶点都在网格点上,其中A 点 坐标为(2,-1),则△ABC 的面积为____平方单位.

A

B

C O

x

y

A

B

C O x

y D E

F

[解析] 如图2,在网格中构造不规则三角形的外接矩形,是计算不规则三角形面积常用的办法.容易计算△ABC 的面积为7平方单位. 【例8】(2006,广州)如图1,将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形,然后,按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片,制成一副七巧板.用这副七巧板拼成图2的图案,则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( ).

111

; C. ; D. .

478

图1 图2

[解析] 题目中的图2是对思维的干扰,如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”,问题就变得简单明了.在图1中可以体会到,小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和,计算得小正方形的面积等于

9

2

,因此小正方形的面积是大正方形面积的

1

8

.选D.

【例9】(2006,常州)在平面直角坐标系中描出下列各点A(2,1),B(0,1),C(-4,-3),D(6,-3),并将各点用线段顺次连接构成一个四边形ABCD.

(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形?

(2)在四边形ABCD内找一点P,使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形,请写出P点的坐标.

A

B

C D

x

y

o P

P

[解析] 这是一道很好地体现新课程理念的动手操作题,只要画图规范准确,奥妙尽在不言中.如图,很容易判断四边形ABCD是等腰梯形,那么点P一定在两底的垂直平分线上.如果点P也在两腰的中垂线上,两腰的特殊性就在于它与坐标轴的夹角为45°,并且两腰的中点恰在格点上,从图形中很容易看出点P的坐标为(-1,-4).然而点P 在四边形ABCD内吗?你掉进了陷阱.设点P(1,y),显然只有DA=DP的可能了,由两点间的距离公式,

=

3

y=.点P(1

3)在四边形ABCD内.

三、分类讨论思想在格点问题中的运用.

【例10】(2006,日照)已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A、B 两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A、B、C为顶点的三角形面积为1,则点C的个数为A.3个;B.4个;C.5个;D.6个.

[解析] 怎样选取分类的标准,才能做到点C的个数不遗不漏?按照点C所在的直线分为两种情况:当点C与点A在同一条直线上时,AC边上的高为1,AC=2,符合条件的点C有4个;当点C与点B在同一条直线上时,BC边上的高为1,BC=2,符合条件的点C有2个.选D.

【例11】(2006,重庆)如图所示,A、B是4×5网络中的格点,网格中的每个小正方形的边长为1,请在图中清晰

标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置.

[解析] 心动不如行动,赶快拿起圆规:以A为圆心,AB长为半径画圆,圆弧经过格点C1、C2;以B为圆心,AB

长为半径画圆,圆弧经过格点C3.用勾股定理可以验证AC1=AC

2

=BC3也可以根据全等三角形的对应边

相等证得AC1=AC2 =BC3=AB.AB的垂直平分线会经过格点吗?因为AB的中点不在格点上,因此AB的垂直平分线不会经过格点.

【例12】(2006,佛山)已知Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示,P(3,4)为OB的中点,点C为折线OAB 上的动点,线段PC把Rt△OAB分割成两部分.

问:点C在什么位置时,分割得到的三角形与Rt△OAB相似?

(注:在图上画出所有符合要求的线段PC,并求出相应的点C的坐标)

1

x

[解析] 按照公共锐角进行分类,可以分为两种情况:当∠BOA为公共锐角时,只存在∠PCO为直角的情况;当∠B 为公共锐角时,存在∠PCB和∠BPC为直角两种情况.如图,

C1(3,0),C2(6,4),C3(6,7

4).

四、网格中图形变换的画图与描述.

【例13】(2006,北京海淀区)在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示,那么下面平移中正确的是()

图1 图2

A. 先向下移动1格,再向左移动1格;

B. 先向下移动1格,再向左移动2格;

C. 先向下移动2格,再向左移动1格;

D. 先向下移动2格,再向左移动2格.

[解析] 图形的平移归根到底是对应点的平移,图形在平移的过程中对应点的连线平行且相等.图1中的图形N平移到图2,就是点A平移到点A′,先向下移动2格,再向左移动1格,选C.

【例14】(2006,大连)如图1,点O、B的坐标分别为(0,0)、(3,0),将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△O A′B′.

⑴画出△OA′B′;

⑵点A′的坐标为________________;

⑶求BB′的长.

A

B

O

A

B

O

A'

B'

x

y

图1 图2

[解析] 如图2,点B′的位置很容易确定,如何简捷准确地确定点A ′的位置?将OA 为对角线的矩形绕O 点逆时针方向旋转90°,就可以确定点A ′的位置.要用坐标描述点A ′的位置,先要按点O 、B 的坐标建立坐标系,按照全等形的对应边相等及数形结合思想,点A ′的坐标为(-2, 4).BB′的长就是等腰直角三角形O BB′的斜边长,BB′

= 【例15】(2006,云南)在如图1的方格纸中,每个小正方形的边长都为l , △ABC 与△A 1B 1C 1构成的图形是中心对称图形.

(1)画出此中心对称图形的对称中心O ;

(2)画出将△A 1B 1C 1,沿直线DE 方向向上平移5格得到的△A 2B 2C 2;

(3)要使△A 2B 2C 2与△CC 1C 2重合,则△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向旋转,至少要旋转多少度?(不要求证明)

图1 图2(两个图大小一致)

[解析] 中心对称图形对应点的连线经过对称中心,如图2,BB 1、CC 1的交点就是对称中心O .△A 1B 1C 1向上平移5格得到的△A 2B 2C 2,恰好C 2C 1=C 2B 2,△A 2B 2C 2≌△CC 1C 2,△A 2B 2C 2绕点C 2顺时针方向至少旋转90°可与△CC 1C 2重合. 【例16】(2006,成都)如图1,方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC 是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B 的坐标为(-1,-1). (1)把△ABC 向左平移8格后得到△A 1B 1C 1,画出△A 1B 1C 1的图形并写出点B 1的坐标;

(2)把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得到△A 2B 2C ,画出△A 2B 2C 的图形并写出点B 2的坐标; (3)把△ABC 以点A 为位似中心放大,使放大前后对应边长的比为1:2,画出△AB 3C 3的图形.

图1

图2(两个图大小一致)

[解析] 如图2,把△ABC 以点A 为位似中心放大,就是在AB 、AC 的延长线上取点B 3、C 3,使B 3C 3=2BC ,也就是说,BC 是△A B 3C 3的中位线. 【例17】(2006,广东)如图1,图中的小方格都是边长为1的正方形, △ABC 与△A ′ B ′ C ′是关于点O 为位似中心的位似图形,它们的顶点都在小正方形的顶点上. (1)画出位似中心点O ;

2)求出△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比;

(3)以点O 为位似中心,再画一个△A 1B 1C 1,使它与△ABC 的位似比等于1.5.

图1 图2 (两个图大小一致)

[解析] 位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心,如图,直线AA ′、BB ′的交点就是位似中心O .△ABC 与

.要画△A1B1C1,△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比,也等于AB与A′B′在水平线上的投影比,即6:32:1

先确定点A1的位置,因为△A1B1C1与△ABC的位似比等于1.5,因此OA1=1.5OA,所以OA1=9.再过点A1画A1B1∥AB交O B′于B1,过点A1画A1C1∥AC交O C′于C1.

网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题,新颖的题目不断涌现,但是归根到底,中考题还是来源于课本,网格问题是课本知识的情景再现,我们一定要围绕课本开展复习.

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