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揭阳市惠来县第一中学2018届高二上学期期中考试(理数)

揭阳市惠来县第一中学2018届高二上学期期中考试

数学（理科）

本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。

2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≤，若M N ?，则k 的取值范围是（） A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 2．在中，，，

，则（）

A. 或

D. 以上答案都不对

3.若

0a b

<<，则下列结论不正确的是（） (A) 22a b < (B) 2

ab b < (C) 2b a a b +> (D) 1

4、在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S = ( )

A ．60

B ．75 C.90 D ．105

5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（） A ．24里 B ．36里 C ．48里

D ．60里.

6.已知直线1l ：(1)20k x y -++=和直线2l ：8(1)10x k y k +++-=平行，则k 的值是（）

A ．3

B ．3-

C ．3或3-

D 7.若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则sin 2α的值等于（）

A ．54-

B ．5

C ．53-

D ．53 8.如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是

(A) 46+π (B) 86+π (B) (C) 412+π (D) 812+π

9. 设是曲线上任意一点，则的取值范围是（）．

A. B.

10.执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（）

A ．19?n <

B ．18?n ≥

C ．19?n ≥

D ．20?n ≥

11．设数列{a n }，{b n }都是正项等比数列，S n ，T n 分别为数列{lg a n }与{lg b n }的前n

项和，且S n T n ＝n ＋12n

，则55log a b ＝(

)

A.59

B.95

C.53

D.35

12.在公差不为0的等差数列{}n a 中，q p a a a a +=+42，记

p 9

1+的最小值为m .若数列{}n b 满足12,112111=?-=

++n n n b b b m b ，则=+???+++2

10023

22110032b b b b （） A ．10097 B ．10099 C ．101100 D ．101

102

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小

组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是．

14．已知ABC ?的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3b =，1c =，2A B =，则a 的值为_________.

15.设f （x ）=2x 2+bx+c ，已知不等式f （x ）<0的解集是（1,5）。若对于任意x ∈[]3,1，不等式f （x ）≤2+t 有解，则实数t 的取值范围为

16.小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的套数不少于买科普书的本数．那么最多可以买的科普书与文具的总数是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（满分10分）已知()2321f x x x =+--. （1）求不等式()2f x <的解集；

（2）若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围.

18．（满分12分）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，+1=2+1n n a S ，*

n ∈N .

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设31log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .

19．（满分12分）设△ΑΒC 的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，，且

12c o s =+b

c C b a ．（1）求角A 的大小；

（2）若1=a ，求△ΑΒC 的周长l 的最大值．

20.如图，四棱锥P ABCD -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是60ABC ∠=?的菱形，M 为PC 的中点．

（1）在棱PB 上是否存在一点Q ，使得A ，Q ，M ，D 四点共面？若存在，指出点Q 的位置并说明；若不存在，请说明理由；（2）求点D 平面PAM 的距离．

21.已知点

，⊙

．

(Ⅰ)当直线m 过点P 且与圆心的距离为1时，求直线m 的方程． (Ⅱ)设过点P 的直线与⊙C 交于A ，B 两点，且，求以线段AB 为直径的圆的方

程．

22．（满分12分）若定义域内的某一数0x ，使得00)(x x f =，则称0x 是)(x f 的一个不动点，已知函数)0(1)1()(2

≠-+++=a b x b ax x f 。（Ⅰ）当1=a ，2-=b 时，求函数)(x f 的不动点；

（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数)(x f 恒有两个不动点，求a 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若)(x f y =图象上两个点B A ,的横坐标是函数)(x f 的不动点，且B A ,的中点C 在函数145)(2+-+

-=a a a

x x g 的图象上，求b 的最小值。参考公式：

),(),,(2211y x B y x A 的中点坐标为1212(,)22

x x y y

++）

数学（理科）参考答案

选择题：1--5.D C D B B 6--10.A A B C C 11-12.AC

12题解：在等差数列{}n a 中，由246p q a a a a p q +=+?+=，因为2,4p q ==时，

p q

+取最小值411，所以411m =，112b =

又由1121n n n b b b ++-?=可归纳出1n n b n =+，所以21

(1)

n b n n n =+

所以3

1002122210023100101

b b b b +

+++=

填空题.13. ４３

１４. １５[)+∞-,10. １６.37 解答题

17．解：（1）不等式()2f x <等价于()()3223212x x x ?<-???-++-

122

23212x x x ?-≤≤?

??++-

23212x x x ?

>???+--

，……３分解得32x <-

或3

x -≤<，所以不等式()1f x <的解集是(),0-∞；……５分（2）存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，故需求()f x 的最大值.…………６分

2321x x +--≤()()23214x x +--=，……８分

所以324a -<，解得实数a 的取值范围是2,23??

???

.……１０分 18．解：（1）由题意得121n n a S +=+，()1212n n a S n -=+≥

两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=()132n n a a n +?=≥，……２分所以当2n ≥时，{}n a 是以3为公比的等比数列. 因为21121213a S a =+=+=，

3a a =…………４分

所以，

3n n

a a +=，对任意正整数成立，{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，所以得13n n a -=.……６分

（2）313log log 3n n n b a n +===，所以13n n n a b n -+=+，……８分

()()()012313233n T =+++++++L ()()21313n n n n --+-++ ()0122133333n n --=++++++L ()1231n n ++++-+L ……１０分

()113132n n n +-=+-（到此步……１２分） 2312

n n n ++-=…………１２分

１９

……６分

（2

…………７分

…………１０分 π

3A =

∵

…………１１分

△ΑΒC 的周长l 的最大值为3…………１２分

解：（1）当点Q 为棱PB 的中点时，A ，Q ，M ，D 四点共面．证明如下：取棱PB 的中点Q ，连结QM ，QA ，又M 为PC 的中点，所以//QM BC ，在菱形ABCD 中//AD BC ，所以//QM AD ，所以A ，Q ，M ，D 四点共面． ………………４分（2）点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离，取AD 中点O ,连结OP ，OC ，AC ，依题意可知△PAD ，△ACD 均为正三角形，

所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ?平面PAD ，

所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P ACD -的高…………7分在Rt POC ?

中，PO OC ==

在△PAC 中，2PA AC ==

，PC ，边PC

上的高AM =

，所以△PAC

的面积112222

PAC S PC AM ?=

?==

．…………9分设点D 到平面PAC 的距离为h ，由D PAC P ACD V V --=，得1

PAC ACD S h S PO ???=?，