《二次根式》分类练习题
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】 二次根式的定义: 形如
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,
才有意义.
【典型例题】
题型一:二次根式的判定 【例1】下列各式1)
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是二次根式的个数有______个
题型二:二次根式有意义 【例2】若式子
1
3
x -有意义,则x 的取值范围是 .[来源:学*科*网Z*X*X*K] 举一反三:
1、使代数式43
--x x 有意义的x 的取值范围是( )
A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2、使代数式2
21x x
-
+-有意义的x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
题型三:二次根式定义的运用
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y =
解题思路:式子a (a ≥0),50
,50x x -≥??-≥?
5x =,y = 2009,则x+y = 2014
举一反三:
1、若11x x ---2
()x y =+,则x -y 的值为( )
A .-1
B .1
C .2
D .3
2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值
3、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
题型四:二次根式的正数部分和小数部分
1、已知a 是5整数部分,b 是 5的小数部分,求1
2
a b ++的值。
2、若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。
3、若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求
y x 1
2+
的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a a ()≥0是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ()()a aa 20=≥.
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-
?
?
||()() 注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
4. 公式a a a a a a 200==≥-
?
?
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 (1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
题型一:二次根式的双重非负性
【例4】若 则=+-c b a .
举一反三:
1、若0)1(32
=++-n m ,则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数,且()02312
=-+-y x ,则y x -的值为( )
A .3
B .– 3
C .1
D .– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2
-4|+652+-y y =0,
则第三边长为____. 4、若
1
a b -+与
24a b ++互为相反数,则()
2005
_____________
a b -=。
题型二:二次根式的性质2(公式)0()(2
≥=a a a 的运用)
【例5】 化简:
21(3)a a -+-的结果为( )
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4 举一反三:
1、 在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ;4244m m -+=
429__________,222__________x x x -=-+=
2、 化简:()
3313--
3、 已知直角三角形的两直角边分别为2和5,则斜边长为
题型三:二次根式的性质3 (公式?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用)
【例6】已知2x <,则化简244x x -+的结果是
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三:
1、根式2(3)-的值是( )
A .-3
B .3或-3
C .3
D .9
2、已知a<0,那么│2
a -2a │可化简为( )
A .-a
B .a
C .-3a
D .3a 3、若2
3a ,则
()
()
2
2
23a a --
-等于( )
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a -
4、若a -3<0,则化简
a
a a -++-4962的结果是( )
(A) -1 (B) 1 (C) 2a -7 (D) 7-2a 5、化简(
)
2
2
44123x x x -+-
-得( )
(A ) 2 (B )44x -+ (C )-2 (D )44x -
()2
2340a b c -+-+-=,
6、当a <l 且a ≠0时,化简
a a a a -+-221
2= .
7、已知0a <,化简求值:
22
114()4()a a a a -+-+-
【例7】如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a -b │+2
()a b + 的结果等于( )
A .-2b
B .2b
C .-2a
D .2a
举一反三:实数a 在数轴上的位置如图所示:化简:2
1(2)______a a -+-=.
【例8】化简2
1816x x x ---+的结果是2x -5,则x 的取值范围是( ) (A )x 为任意实数 (B )1≤x ≤4 (C ) x ≥1 (D )x ≤1
举一反三:若代数式2
2
(2)(4)a a -+-的值是常数2,则a 的取值范围是( ) A.4a ≥ B.2a ≤
C.24a ≤≤
D.2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+,那么a 的取值范围是( )
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1 举一反三:
1、如果2693a a a +-+=成立,那么实数a 的取值范围是( )
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2=-+-x x ,则x 的取值范围是( ) (A )3>x (B )3 2 a a a +- 的结果是 (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简,正确的结果是( ) A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内:当b >0时, x x b = ;a a --11 )1(= 。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方 的数或因式; 分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式1) 2 2 2;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 解题思路:掌握最简二次根式的条件。 举一反三: 1、)b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 1- 1 2 a o b a 2、下列根式中,不是..最简二次根式的是( ) A .7 B .3 C .12 D .2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A.21a + B.21x + C. 24 b D.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么? (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6) xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式: (1)12 (2)b a 2 45 (3)x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三: 1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( ) A 、318和 B 、1 33 和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、在二次根式:①12;② 32;③ 3 2 ;④27中,能与3合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a= 。 知识点四:二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a ?=来确定,如:a a 与,a b a b ++与,b a -与 b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a b +与a b -, a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 (1)148 (2)4337 - (3)11212 (4)13550- 【例14】把下列各式分母有理化 (1)328x x y (2)2a b - (3)38x x (4)2 5 2 5a b b a - 【例15】把下列各式分母有理化: (1)221- (2)5353+- (3)333223 - 举一反三: 1、已知2323x -=+,2323 y +=-,求下列各式的值:(1)x y x y +-(2)22 3x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化: (1)()a b a b a b -≠+ (2) 22 22a a a a +--++- (3)2222 b a b b a b -+++ 小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与 ; ② 与 ; ③与; ④与. 知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 ab =a ·b (a ≥0,b ≥0) 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 a ·b =ab .(a ≥0,b ≥0) 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 a b =a b (a ≥0,b>0) 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 a b =a b (a ≥0,b>0) 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边, 同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 【典型例题】 【例16】化简 (1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5) 1 2 ×632? 【例17】计算(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【例18】化简: (1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (3)2964x y ) 0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算:(1) 123 (2)3128÷ (3)11416÷ (4)64 8 【例20】能使等式2 2x x x x = --成立的的x 的取值范围是( ) A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解 知识点六:二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. 【典型例题】 【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12 543102024553457????+-- ? ? ? ????? ; (3)11113275348532-+-+; (4)113326327284814723247????-+-+ ? ????? 【例21】 (1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a b a b a b --+ -+ (3)32 132********a a a a a a a -+- (4)1142a a b b a b ??+-- ? ??? (5)3 53 8154a a a a a -+ (6)2x y y x xy y x x y +-+++ 知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序; 2、灵活运用运算定律; 3、正确使用乘法公式; 4、大多数分母有理化要及时; 5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化; 【典型习题】 1、a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、 2 2 (212 +4 1 8 -348 ) 3、 1 3 2 x y · (-42 y x )÷162x y 4、673)3 2272(-?++ 知识点八:根式比较大小 【知识要点】 1、根式变形法 当0,0a b >>时,①如果a b >,则a b >;②如果a b <,则a b <。 2、平方法 当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质: ①0a b a b ->?>; ② 0a b a b -< 8、求商比较法它运用如下性质: 当a>0,b>0时,则:①1a a b b >?>; ②1a a b b < 【典型例题】 【例22】 比较35与53的大小。(用两种方法解答) 【例23】比较231-与1 21 -的大小。 【例24】比较1514-与1413-的大小。 【例25】比较76-与65-的大小。 【例26】比较73+与873-的大小 二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地,我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式,其中0 a≥。 根据二次根式的定义,我们知道:被开方数a的取值范围是0 a≥,由此我们判断下列式子有意义的条件: 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出: (0) a a =≥,在此我们可将其拓展为: a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () (1)、根据二次根式的这个性质进行化简: ①数轴上表示数a 的点在原点的左边,化简 2a ②化简求值: 1 a a= 1 5 ③已知, 1 3 2 m -<< ,化简2m ④______ =; ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. (2)、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-,则x的取值范围是___________. ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二.二次根式a的双重非负性质:①被开方数a是非负数,即0 ≥ a ②二次根式a 是非负数,即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义,则x 应满足( ). A .21≤x ≤3 B .x ≤3且x ≠21 C .21<x <3 D .2 1 <x ≤3 例2(1)化简x x -+-11=_______. (2) x +y )2,则x -y 的值为( ) (A)-1. (B)1. (C)2. (D)3. 例3(1)若a 、b 为实数,且满足│a -2│+2b -=0,则b -a 的值为( ) A .2 B .0 C .-2 D .以上都不是 (2)已知y x ,是实数,且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数,求实数x y 的倒数。 三,如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时,有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识,这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值,可将其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数,根号前的符号不会发生改变;如果根号外的式子为负值,那么要先将根号前的符号变号,再将其其平方后移入根号内,与原被开方数相乘作为新的被开方数。 (1)、 根据上述法则,我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内: ①- ②(a -(2)、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四,拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分,应先判断已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例:(1)1的整数部分为a ,小数部分为b ,试求ab —b 2的值。 (2)若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 (3 a ,小数部分为 b ,求a 2+b 2 的值。 (4)若________a a b a b ==是的小数部分,则。 5a a b -(的整数部分为a ,小数部分为b ,求的值。 2、巧变已知,求多项式的值。 32351 x x x x = +-+(1)、若的值。 课题 二次根式与带有二次根式的方程 一、知识回顾 1、 例题 二次根式的混合运算 例1、计算与化简:113(184)18(32)2332 -+÷-÷+- 思维训练 1、计算(1)1211 2632122 3336 ---- (2)2 3 7(83)(4)(0)b a ab a b a b a a b a ---> (3)()ab ab a ab a b a ab --÷ -+(其中a>0,b>0,a ≠b ) 化简求值 化简求值时,一般是要把原式化简到最简,然后再代入求值 例2、已知223 a =+,求222168816 44a a a a a a a -+-+- -- 思维训练2、(1)已知,求2232421 x x x x --+- (2)11,5353 a b = =-+,求2 ()a b +的值。 (3)如果11123 a b -=+,32a b -=-,那么a 、b 两数有什么关系?为什么? 0的形式 一般情况下a (0a ≥)当一个式子中含有a a +-或a a --时,则a=0, 例3、若x 、y 为实数,已知22448 2 x x y x ---+=-,求3x y - 思维训练3、(1)若x 、y 为实数,且1 12214 y x x =-+-+ ,求;2x y + (2)已知a 、b 是实数,且,解关于x 的方程 (3)已知3 303 x y -+-=,求22 311y x y x x +-++的值。 2()a b c +的形式,(其中a 、b 、c 为常数) 当 里面含有二次根式时,一般考虑把根号里的被开方数化成完全平方的形式。 例4、化简423+ 思维训练4、化简(1)526+ (2)743- 2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 二次根式 ◆知识讲解 1.二次根式 a≥0)叫做二次根式. 2.最简二次根式 同时满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式(分母中不含根号);②被开方数中含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式叫做最简二次根式. 3.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式. 4.二次根式的性质 2=a(a≥0); │a│= (0) 0(0) (0) a a a a a > ? ? = ? ?-< ? ; (a≥0,b≥0); =b≥0,a>0). 5.分母有理化及有理化因式 把分母中的根号化去,叫做分母有理化;两个含有二次根式的代数式相乘,?若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式. 6.二次根式的运算 (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. ◆例题解析 例1 填空题: (1-, 其中是二次根式的是_________(填序号). (2 x 的取值范围是_______. (3)实数a ,b ,c a -b │. o 【解答】(1)1) 3) 4) 5) 7). (2)由x -3≥0-2≠0,得x ≥3且x ≠7. (3)由图可知,a<0,b>0,c<0,且│b │>│c │ -a ,-│a -b │=a -b a - b │. 例2 选择题: (1)在下列各组根式中,是同类二次根式的是( ) A B C (2)在根式1) ,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) (3)已知a>b>0,的值为( ) A .2 B .2 C D .1 2 【解答】(1A 错. 二次根式易错题集 一、二次根式的概念: 二次根式的性质: 1.()0≥a a 是一个非负数。 2.()02≥=a a a 3.()()???-≥==002 a a a a a a 错题: 1.=25 5 2.()=-23 -(-3)=3 3.()=--2 1255-1=4 4.() =2 63()5469632 2 =?=?或()=2 63()()5454632 2 2 ==? 5.() =-- 2 666-=-- 6.= -2 5 5151512 2=?? ? ??= 7.根据条件,请你解答下列问题:(1)已知n -20是整数,求自然数n 的值; 解:首先二次根式有意义,则满足,020≥-n 所以,20≤n 又因为n -20是整数,所以根号内的数一定是一个平方数,即n -20必定可化为()0,202≥=-a a a n 且为整数这种形式,即 ()0,202≥=-a a a n 且为整数。所以满足条件的平方数2a 有0,1,4,9,16。所以.4,11,16,19,20=n (2)已知n 20是整数,求正整数n 的最小值 解:因为n 20是整数,所以根号内的数一定是一个平方数,即n 20必定可化为()为整数a a n 220=这种形式,即()为整数a a n 220=,而()为整数a a n 25420??=,4可以开平方,剩下不能开平方的数5,所以正整数n 的最小值就是5,因2555=?能被开平方。所以我们要把常数先进行分解,把能开平方的数分解出来,剩下的不能开平方的数与字母相乘再配成能开平方的数,而字母的最小值就是这个不能 开平方的数。 7-2.(2)已知n -12是正整数,求实数n 的最大值; 解:因为n -20是正整数,所以满足,012 n -所以,12 n 所以根号内的数一定是一个平方数,即 n -20必定可化为()0,202 a a a n 且为整数=-这种形式,即()0,202 a a a n 且为整数=-。所以满足条件的平方数2a 有1,4,9。所以.3,8,11=n 最大值为11. 易错点:1.在计算或求值时,容易疏忽()0≥a a 是一个非负数。 2.在开方时,易出现()02 a a a =的错误。 3.二次根式的三个性质是正确进行二次根式化简、运算的重要依据。它们的结构相似,极易混淆,因此同学们必须弄清它们之间的区别与联系 二次根式的加减 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式:一般地,我们把形如 (a ≥0)?的式子叫做二次根式,“”称为二次根号. 要点诠释: 二次根式的两个要素:①根指数为2;②被开方数为非负数. 2.代数式:形如5,a ,a+b ,ab ,,x 3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1.a ≥0,(a ≥0); 2. (a ≥0); 3. . 要点诠释: 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式, 即2)(0a a a =≥). 2a 2)a 要注意区别与联系:1).a 的取值范围不同,2a 中a ≥02a a 为任意值。 2).a ≥0时,2)a 2a a ;a <0时,2()a 2a a -. 知识点 类型一、二次根式的概念 例1.下列各式中 ,一定是二次根式的有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5 举一反三: 【变式】下列式子中二次根式的个数有( ). (1)13 ;(2)3-; (3)21x -+;(4)38; (5)21()3-;(6)1x -(1x >) 例2. 式子在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≤1 C .x >1 D .x ≥1 举一反三: 【变式】下列格式中,一定是二次根式的是( ). 23-()20.3-2-x 类型二、二次根式的性质 例3. 计算下列各式: (1)23 2()4 --2(3.14)π- 典型例题 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式,则一定有a ≥0;当a ≥0时,必有a ≥0; 2、当a ≥0时,a 表示a 的算术平方根,因此有 ()a a =2;反过来,也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式; 3、()2a 表示a 2的算术平方根,因此有a a =2,a 可以是任意实数; 4、区别()a a =2和a a =2 的不同: ( 2a 中的可以取任意实数,()2a 中的a 只能是一个非负数,否则a 无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若m <0,则将负号留在根号外.即: x m x m 2-=(m <0). (2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算培优专题:二次根式
二次根式与带有二次根式的方程
(二次根式)
二次根式易错题集知识讲解
04.二次根式全章复习与巩固讲义
《二次根式》培优专题之(一)难点指导与典型例题(含答案及解析)