【最新版】信息与计算科学瑕积分的性质与收敛判别法毕业设计论文

优秀论文归档资料

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学校代码：11517

学号：

HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文

题目瑕积分的性质与收敛判别法

学生姓名向永安

专业班级信息与计算科学1042班

学号

系（部）理学院

指导教师(职称)吴海华（讲师）

完成时间2014 年 5 月10 日

河南工程学院论文版权使用授权书

本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交论文的印刷本和电子版本；学校有权保存论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。

论文作者签名：

年月日

河南工程学院毕业设计(论文)原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。

论文作者签名：

年月日

河南工程学院

毕业设计（论文）任务书

题目瑕积分的性质与收敛判别法

专业信息与计算科学学号姓名向永安

主要内容、基本要求、主要参考资料等：

主要内容

在《数学分析》教程中，对于无穷积分的性质和收敛判别法的叙述较全面，且论证过程非常详细；而对于瑕积分的性质和收敛判别法，只是简单罗列，并且没有

给出论证过程。

鉴于此，本论文的主要工作就是对瑕积分的性质和收敛判别法给出全面的叙述，同时，给出这些结论的详细论证过程。同时给出相关例题便于更好地理解和应用瑕积分与收敛判别法。

基本要求

要顺利的完成毕业论文必须做出以下工作要求：

首先，必须保证每天至少8小时的工作时间来完成毕业论文；

其次，要参考15种以上的参考文献，其中至少两篇英文文献，并且要认真阅读和掌握相关的知识；

最后，对论文的进度做以下整体安排

第一阶段认真阅读参考文献；

第二阶段撰写开题报告，准备开题答辩；

第三阶段撰写文献综述、文献翻译，各自要求3000字以上；

第四阶段撰写毕业论文，完成论文的初稿；

第五阶段根据指导教师的意见，修改论文，进一步完善毕业论文，最终定稿；

第六阶段写出答辩PPT稿，准备答辩。

主要参考

[1] 欧阳中华，朱学炎，金福临，陈传璋. 数学分析下册[M]. 高等教育出版，

2010：65—69.

[2] 华东师范大学数学系. 数学分析上册[M]. 高等教育出版社，2010：.

[3] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析上册[M]. 高等教育出版社，2009：.

[4] 菲赫金哥尔茨. 微积分教程第二卷[M]. 高等教育出版社，2007：.

[5] 吉林师范大学数分教研室编. 数学分析讲义[M]. 吉林师大数学系，2003.

[6] 武汉大学数学系编. 数学分析[M]. 武汉大学数学系，1999.

完成期限：2014年5月15号

指导教师签名：

专业负责人签名：

年月日

目录

摘要.......................................................................................................................................................... I ABSTRACT ..................................................................................................................................... II

1 引言 (1)

2 瑕积分收敛性的概念 (8)

3瑕积分收敛性的性质 (9)

4 瑕积分收敛性的判别法 (11)

4.1瑕积分的收敛判别法 (11)

4.2瑕积分的收敛判别法的应用举例 (15)

结束语 (18)

致谢 (19)

参考文献 (20)

瑕积分的性质与收敛判别法

摘要

本文首先给出瑕积分在不同瑕点收敛的定义，然后根据无穷限反常积分的性质给出了瑕积分的性质定理，并给出详细的证明过程。最后，给出瑕积分收敛性的判别方法，判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断。其中，对于每个收敛判别方法文章都给出了详细的证明过程，以方便读者能够熟练的应用到解题当中，最后结合相关的案例帮助更好的理解和应用瑕积分的性质和收敛判别法。关键词柯西准则阿贝尔判别法狄利克雷判别法条件收敛绝对收敛

DEFECT INTEGRAL PROPERTIES AND

CONVERGENCE CRITERION

ABSTRACT

Firstly, this paper gives the definition of convergence of the defect integrals at different flaw, then gives the nature of the theorems about defect integrals to the nature of the infinite improper integrals and gives a detailed proof. Finally, it gives the convergence of defect integrals discriminant methods to determine defect integrals, convergent methods mainly law,Abel and Dirichlet discrimination law, the original function integrated function known or easy to find use the definition of law; meet the conditions of Dirichlet criterion use Dirichlet discrimination law; meet the conditions of Abel criterion use Abel discrimination law; containing sine, cosine, etc. bounded function or absolute convergence function can be considered to determine with the comparative method. Whereas, for each convergent discriminant methods, the article gives a detailed certification process in order to facilitate the reader can skillfully apply to solving them, and finally with related cases .

KEYWORDS Cauchy Criterion, Abel Criterion, Dirichlet Criterion, Conditional Convergence, Absolute Convergence

1 引言

在定积分中，我们总是假定积分区间是有限的，而被积分函数（如果可积的话）一定是有界的。但在理论中或实际应用中都有需要去掉这两个限制，把定积分的概念拓广为无限区间上的积分和无界函数的积分。下面先讨论无限区间上的积分引入条件，再由此引入无界函数的反常积分的研究。

黎曼积分要求积分区间有限且被积函数在区间上有界.但在生活实际应用中,上述条件并不满足,仍需要另外形式的积分。因此,积分的概念需要进一步的推广。

由（第二宇宙速度的问题）在地球表面垂直发射火箭，要是火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？

设地球的半径为,火箭质量为，地球表面的重力加速度为。根据万有引力定律,在距地心处火箭所受的引力为：

于是火箭从地面升到距离地心为处需作的功为： 当时，其极限就是火箭无限远离地球需作的功。可得

mgR dx x mgR dx x mgR r R r R

==??

+∞→∞

+2

2

22

lim

最后，由机械守恒定律可求得初速度至少应使

可得

因此，引出了人们对无穷限反常积分的研究。国内外关于无穷积分的性质与收敛性判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果。在《数学分析》一系列教材中，对于无穷积分的性质和收敛性判别法的叙述比较全面，且论证过程非常详细。无穷限反常积分收敛性的判断是学生学习的难点之一，判断无穷限反常积分收敛的方法有多种,《数学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。

下面简单给出无穷积分的定义的引入：

我们先考察位于曲线之下，轴之上而夹在直线，之间区域的面积 当时，有

自然，可以把这一极限了解为位于曲线之下，轴之上，直线之右向右无限延展的区域面积。

但是，如果对曲线，，考察同样的问题，有

()+∞→+∞→=?

A A dx x

A

ln 1

1

在这种情况下，无限延展的区域就没有有限的面积了。 由此，我们可以给出以下定义：

定义 设函数在有定义，并且对于任意的在区间上可积，当极限

存在时，称这极限值为在区间上（或是从到）的反常积分，记作

这时也称积分是收敛的，它的值就是上述极限值。如果上述的极限不存在，称积分是发散的。

类似地可定义反常积分。

对反常积分当和都收敛时（是一个任意固定的数），我们就说收敛，并且有

()()()dx x f dx x f dx x f a

a ?

??+∞

∞

-+∞∞

-+=

这时，显然有

必须注意的是：这里和两者之间是独立变化的，如果上式右边的极限不存在，就称发散。

下面简单给出无穷积分的收敛的柯西准则：

定理1 无穷积分收敛的充要条件是：任给，存在，只要，便有

()()()??

?=

-2

1

2

1

u u u a

u a

dx x f dx x f dx x f

下面简单给出无穷积分的相关性质：

性质1 若与都收敛，为任意常数，则也收敛，且

()()[]()()dx x f k dx x f k dx x f k x f k a

a

a

?

?

?+∞

+∞

+∞+=+2211

2

21

1

性质2 若在任何有限区间上可积，，则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有

()()()dx x f dx x f dx x f b

b a

a

?

??

+∞

+∞

+=

其中右边第一项是定积分。

性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出收敛的另一充要条件：任给，存在，当时，总有

事实上，这可由

()()()dx x f dx x f dx x f u

u a

a

?

??

+∞

+∞

+=

结合无穷积分的收敛定义而得。

若，，，，在任意上可积，且 和都收敛，则收敛。

性质3 若在任何有限区间上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有

性质4 设在连续，又如果下面的等式中有两项存在，那么第三项也存在，并且等式

成立。这就是反常积分的分部积分法。

其中，当收敛时，称为绝对收敛。我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛。 下面给出无穷限积分收敛性判别的定理以及推论： 定理2 （非负函数无穷积分判别法）

设定义在上的非负函数在任何上可积，则收敛的充要条件是： 存在，使

，

定理3（比较判别法）

设定义在上的两个非负函数，在任何有限区间上可积，且存在，满足

，

则当积分收敛，那么积分也收敛； 当积分发散，那么积分也发散。

例1 判别的收敛性。 解 显然，由于收敛，因此

收敛。

例2 设，是上的非负连续函数，证明：若和收敛，则

收敛。

证明 由于，而

()()()()dx x g dx x f dx x g x f a

a a

???

∞

+∞+∞

++=+222221212收敛，

因此收敛。

同时它有下面的极限形式。 推论1（比较判别法的极限形式） 设非负函数，在任何上可积，且 （1）若，则和收敛性相同； （2）若，则由收敛可得收敛； （3）若，则由发散可得发散。 推论2（柯西判别法）

设是定义在上的非负函数，在任何有限区间上可积。 （1）若，则收敛； （2）若，则发散。

推论3（柯西判别法的极限形式）

设是定义在上的非负函数，在任何有限区间上可积。 若，则

（1）当时，积分收敛； （2）当时，积分发散。 例3 讨论的收敛性 解 （1）时，0ln lim ln lim 2

12

1==?-++∞→+∞

→p p x x

x x x

k x p k x

因此由推论3可得收敛；

（2）时，+∞==?-+∞→+∞→x x x

x

x k p x p k x ln lim ln lim 1

由此同理可得发散。

定理4 （积分第二中值定理）

设函数在上可积，而在上单调，那么在上存在，使

()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f b

a

b

a

???

+=ξ

ξ

特别，如果单调增加且，那么有，使

()()()()dx x f b g dx x g x f b

b

a

??

=ξ

如果单调减少且，那么有，使

()()()()dx x f a g dx x g x f a

b a

??=ξ

定理5（阿贝尔判别法）

如果收敛，在上单调有界，那么积分收敛。 定理6（狄利克雷判别法）

若在上有界，在上单调，且，则无穷反常积分收敛。 例 4 证明积分收敛，而不绝对收敛 证明 因为

21c o s c o s s i n 1

≤-=?

A x d x A

，又由单调而且当时趋于零，由狄利克雷

判别法知收敛。但

再应用狄利克雷判别法可知收敛，因为

12sin 2sin 2

1

2cos 1

≤-=

?

A xdx A

又由。

然而发散，因此发散，所以收敛，而不绝对收敛。

例 5 证明积分()10arctan sin 1

≤

+∞λλ

dx x x

x

证明 因为收敛，又因为在上单调有界，由阿贝尔判别法可知

()10arctan sin 1

≤

+∞

λλ

dx x

x

x 收敛。 以上是文献[1-6]中关于无穷积分给出的一些性质定理和无穷限积分的收敛性判别法，关于更多详细内容可参考文献[7-17]。

然而在《数学分析》相关教程中对于瑕积分的性质和收敛判别法只是简单罗列，并且没有给出论证过程，甚至有些教材只字未提。瑕积分的性质和收敛判别法是一个重点和难点，在解决实际应用问题中有着举足轻重的作用，所以熟练掌握瑕积分的性质和收敛判别法，并能独立完成各种性质与收敛判别法证明过程和灵活应用是必要的条件。因此本文将根据无穷积分的性质和收敛性判别法给出一下内容： 1.瑕积分收敛性的性质 2.瑕积分收敛性的判别方法 3.所有结论的的论证过程 4.瑕积分的相关的应用举例

2 瑕积分收敛性的概念 文献[1]给出了瑕积分的性质

定义 定义在区间上,在点的任一右邻域内无界,但在任何闭区间上有界且可积.如果存在极限,则称此极限为无界函数在上的反常积分,记作 并称反常积分收敛.如果极限不存在,这时也说反常积分发散。

在定义中,被积函数在点附近是无界的,这时点称为的瑕点,而无界函数反常积分又称为瑕积分。同理,可定义瑕点为时的瑕积分：

其中在有定义,在点的任一左邻域内无界,但在任何上可积。

若的瑕点,则可得瑕积分

?

????

+-→→+=+=b

v

c

v u a

c

u b c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f .)(lim )(lim )()()( 其中在上有定义,在点的任一邻域内无界,但在任何和上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的。

又若、两点都是的瑕点,而在任何上可积,这时定义瑕积分

?

????

-+→→+=+=v

c

b

v c u

a

u c a

b c

b

a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ,)(lim )(lim )()()( 其中为内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛

的。

例1 瑕积分的值

解 被积函数在上连续,从而在任何上可积,为其瑕点.根据定义可得

.2

arcsin lim 1lim 11

2

1

1

2

π

==-=--

-→→?

?

u x

dx x

dx u u

u

3 瑕积分收敛性的性质

文献[1-6]中给出了瑕积分的定理和性质

定理1 瑕积分（瑕点为）收敛的充要条件是：任给，存在只要，总有

()()()2

1

2

1

b

b

u u u u f x dx f x dx f x dx ε-=

??

证明 由于()()()u F dx x f dx x f a

u b

u

a

u b a

+

+→→==??lim lim 又因为收敛 存在

任给，存在只要，总有

()()()()()2

1

1

2

12

u b b

u u

u

f x dx f x dx f x dx F u F u ε=

-=-

??

性质1 设函数和的瑕点同为，为常数，则当瑕积分与都收敛时，瑕积分必定收敛，并有

()()[]()()dx x f k dx x f k dx x f k x f k b

a

b a

b a

???+=+2

21

12

21

1

证明 由于与都收敛，则和存在。 所以

()()dx x f k dx x f k b

u

a

u b

u

a

u ?

?++→→+=2211lim lim 所以收敛，且

()()[]()()dx x f k dx x f k dx x f k x f k b

a b a b a ???+=+22112211。

性质2 设函数的瑕点为，为任一常数，则瑕积分与同敛态，并有

()()()dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b

a

???

+=

其中为定积分。

证明 由于

()()??

????+=??+→c u b

c a u dx x f dx x f lim

（3-1）

所以和同时存在或同时不存在，即与同敛态。又根据（3-1）式

()()()dx x f dx x f dx x f b

c

c a

b

a

???

+=。

性质3 设函数的瑕点为，在的任意内闭区间上可积。则当收敛时也必定收敛，并有。

证明 根据柯西准则，收敛则任给，存在只要，总有 由定积分绝对值不等式，得 又由柯西准则可得收敛。 由于对任意的，有 又因为和收敛，则可得

()()dx x f dx x f b

u

a

u b u

a

u ??

++→→≤lim lim 即

当收敛时，称为绝对收敛。又称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛的。

4 瑕积分收敛性的判别法

4.1 瑕积分的收敛判别法

参考文献[7-13]给出瑕积分的收敛判别法，如下

定理2 若定义在上的非负函数，在任意闭区间上可积，则收敛的充要条件是：存在,对任意的，。

证明 因为，所以函数在上单调递减。 充分性：

由于在上有界，所以

存在。

即收敛； 必要性：

因为瑕积分（瑕点为）收敛，则存在，那么在上有界。又由于在任意闭区间上

可积，则

在上连续，那么在上有界。 因此可得。

定理3(比较法则) 设定义在上的两个函数与，瑕点同为，在任何上都可积，且满足

则（1）当收敛时，必定收敛； （2）当发散时，亦必发散。

证明 设，由于，则有

()()()???≤≤b

a

b u

b u

dx x g dx x g dx x f

即在上有上界，所以收敛。 推论1 又若时，且，则有： （1）当时，与同敛态;

（2）当时，由收敛可推知也收敛； （3）当时，由发散可推知也发散。 证明 （1），，取，存在时， 即

由比较法则得与同敛态。

（2），对任意，当时，存在 即

由比较法则可得收敛可推知也收敛。

（3），对任意，当时，存在 即

有比较法则可得发散可推知也发散。

当选用作为比较对象时，比较法则及其2推论1成为如下

推论2 设定义于，为其瑕点，且在任何上可积，则有 （1）当，且，收敛； （2）当，且，发散。

推论3 设定义于，为其瑕点，且在任何上可积，如果 则有

（1）当时，收敛； （2）当时，发散。

定理4 （积分第二中值定理）

设函数在上可积，而在上单调，那么在上存在，使

()()()()()()dx x f b g dx x f a g dx x g x f b

a

b

a

???

+=ξ

ξ

特别，如果单调增加且，那么有，使

()()()()dx x f b g dx x g x f b

b a

??=ξ

如果单调减少且，那么有，使

()()()()dx x f a g dx x g x f a

b a

??=ξ

定理5（阿贝尔判别法）

设在有瑕点，如果收敛，在上单调有界，那么积分收敛。 证明 由于在上有界，则存在，使。 又由于收敛，则存在任意，当，有

又当时，根据积分第二中值定理：或者，使得

()()()()()()dx x f u g dx x f u g dx x g x f u u u u ???

+=2

1

2

1

21ξ

ξ

()()()()dx x f u g dx x f u g u u ??+≤2

1

21ξ

ξ

因此得出积分收敛。

定理6（狄利克雷判别法）

设在有瑕点，如果在上有界，在上单调且，那么积分收敛。 证明 因为在上有界，则存在，使。 因为，则对，，使得当，有

又当时，根据积分第二中值定理：或者，使得

()()()()()()dx x f u g dx x f u g dx x g x f u u u u ???

+=2

1

2

1

21ξ

ξ

()()()()dx x f u g dx x f u g u u ??+≤2

1

21ξ

ξ

所以积分收敛。

4.2 瑕积分的收敛判别法的应用举例

文献[15-17]中给出以下应用举例

例1 判别下列瑕积分的收敛性：(1)； (2)

解 本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号在上恒为负,在上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事。

(1)此瑕积分的瑕点为。由上述推论3,当取时,有

ln ln lim lim lim(),x x x x x

x x x x

λ+++

→→→-=?=-==31

4

410004

40 所以瑕积分(1)收敛。

(2)此瑕积分的瑕点为。当取时,由

lim()lim ,ln ln x x x x x x x

λ+

+

→→-=-?

==11111 故该瑕积分发散。

例2 讨论反常积分的收敛性

解 这是一个既是无穷积分又是瑕积分的例子

把反常积分写成：()()()a x x a dx dx I a J a x x

α

-+∞Φ=+=+++??1

1

0011。

(i)先讨论.当,即时它是定积分；当时它是瑕积分,瑕点为。由于

,

根据推论2,当即且时,瑕积分收敛；当,即且=1时,发散。

(ii)再讨论,它是无穷积分.由于

lim lim ,x x x x

x x

αα

--→+∞

→+∞?==++121111 根据推论2,当,即且时,收敛；而当,即且1时,发散。 综上所述，讨论结果如下： (1)当时，发散，收敛，发散； (2)当时，收敛，收敛，收敛； (3)当时，是定积分，发散，发散； 由此可见，反常积分只有当时才是收敛的。

例3 讨论反常积分的收敛性。

解 ,由,可得瑕积分收敛,又因为可以得出无穷积分收敛,因此可可得反常积分是收敛的。

例4 讨论瑕积分收敛性： (1) （2） (3)

解 （1）[]ln ln ()~(),()a a a x x x x =+--→1111,可得时收敛,时发散。 根据柯西判别法,由上式可令,lim()lim ln ln a

a a x x x x x

→→-==1

111

11可以得出时收敛,时发散。 （2）积分可转化为

q p q p x x xdx x

x xdx

-??????+++=-?????

∞+∞

+1ln 1ln 2

211212100

在中0是瑕点，在和中1是瑕点，是无穷限反常积分。

讨论，当时发散。当时，取使，有，而，所以，而收敛，故时收敛。

讨论,因为()[]()1111ln ln →-≈-+=x x x x ，所以，于是当时，即时收敛，时发散。 讨论，和相同，当时收敛，时发散。

讨论，因为，得时收敛（这是因为对任何，，与相比，可以不考虑）。当时发散。 (3)被积函数的瑕点为1和2，可得

()()()()()()x x x dx dx dx J J x x x x x x =+=+------?

??3

2

22

3121

1

2

121212

()()()

x x

J dx dx x x x x ==----?

?3

3

2211

1

11212

与同收敛.根据柯西判别法,可以得出收敛。同理与同收敛，根据柯西判别法,可以得出收敛,由瑕积分的性质可得整式收敛。

通过以上实例我们可以知道瑕积分的性质和收敛判别法在实际应用当中有着举足轻重的作用。我们不但要掌握瑕积分的性质和收敛判别法，还要能够自己独立的证明，只有熟练掌握它们的原理才能够很好的应对各种题型的变换。

结束语

本文根据无穷积分的性质和收敛判别法给出了瑕积分的性质和收敛判别法。并且给出了一些结论的证明过程，文中还列举了瑕积分应用方面的一些案例帮助理解和应用。瑕积分的性质和收敛判别法是数学分析中的一个重点、难点，由于本人所学的知识有限，并不能完全解决瑕积分解题遇见的一些困难，希望在以后的工作学习当中能够进一步的学习瑕积分的性质和收敛判别法以及他们的应用方法，能够使瑕积分的性质和判别法越来越完善。

致 谢

这篇文章之所以能够顺利的完成，除了自我的努力之外，还与我的母校河南工程学院的栽培和理学院所有老师的指导和帮助是分不开的，在这里我要对所有帮助过我的人表示感谢！

首先，我要感谢的就是我的指导老师吴海华，正是因为她的高度的责任感和悉心的指导鼓励着我顺利完成这篇论文。从选题开始她一直保持跟我的联系细心的督促论文完成的进度并且帮助讲解论文完成的思路和一些重要的注意事项。她用渊博的学识和孜孜不倦的敬业精神打动着我，让我学会了严谨求实的治学态度，由衷的感谢吴老师对我论文全程的指导和帮助。

其次，我还要感谢周围的同学，我们在写论文中遇见的困难，大家相互鼓励和讨论解决问题，对于我的论文有一定的提升作用。

最后，还要感谢给我提供参考文献各位作者，他们的著作对我完成论文起了很

大的作用，为自己创造了一个很好的写作平台。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[2] 陈传璋等. 数学分析（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007.

[3] 陈纪修，於崇华，金路. 数学分析下册[M]. 高等教育出版社，2009：.

[4] 菲赫金哥尔茨. 微积分教程第二卷[M]. 高等教育出版社，2007：.

[5] 吉林师范大学数分教研室编. 数学分析讲义[M]. 吉林师大数学系，2003.

[6] 武汉大学数学系编. 数学分析[M]. 武汉大学数学系，1999.

[7] 高建平，刘声，张蕊. 反常积分收敛判别法[J]．数学学习与研究，2010，19(9)：

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