高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8
|3x |15
x 2x y 2-+--=
的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
??
?≠-+≥--②①
8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④
③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2
x
161
x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
?
??>-≥②①0x 160
x sin 2
由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③
由②解得4x 4<<-
④
由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而
3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求
g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R ；
当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是
1
m 00)8m (m 4)m 6(0m 2
≤ 综上可知1m 0≤≤。
评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。
例6 已知函数3
kx 4kx 7
kx )x (f 2+++=
的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
解：要使函数有意义，则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立，因为)x (f 的定义域为R ，即
03kx 4kx 2=++无实数
①当k ≠0时，0k 34k 162
3k 0<<； ②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。 综上k 的取值范围是4
3k 0<
≤。 四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。
例7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。
解：设矩形一边为x ，则另一边长为
)x 2a (2
1
-于是可得矩形面积。 2x ax 21
)x 2a (21x y -=-?=
ax 2
1
x 2+-=。
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
??
?>->????
??>->0x 2a 0x 0)x 2a (2
10
x 2
a
x 0<
故所求函数的解析式为ax 2
1
x y 2+
-=，定义域为（0，2a ）。 例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x ，
求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
因为CD=AB=2x ，所以x CD π=?
，所以2
x
x 2L 2CD AB L AD π--=
--=
?
， 故2
x 2x x 2L x 2y 2
π+
π--?= Lx x )2
2(2+π
+-=
根据实际问题的意义知
2L x 002x
x 2L 0
x 2+π<
?
??>π--> 故函数的解析式为Lx x )2
2(y 2+π
+-=，定义域（0，2L +π）。
五、参数型
对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。 例9 已知)x (f 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。 解：因为)x (f 的定义域为［0，1］，即1x 0≤≤。故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集：
???≤-≤≤+≤1a x 01a x 0，即?
?
?+≤≤-≤≤-a 1x a a
1x a 即两个区间［－a ，1－a ］与［a ，1+a ］的交集，比较两个区间左、右端点，知
（1）当0a 2
1
≤≤-
时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-； （2）当21
a 0≤≤时，F （x ）的定义域为}a 1x a |x {-≤≤；
（3）当21a >或2
1
a -<时，上述两区间的交集为空集，此时F （x ）不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。
例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。
解：由03x 2x 2>++-，即03x 2x 2<--，解得3x 1<<-。即函数y 的定义域为（－1，3）。 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==，复合而成的。
4)1x (3x 2x t 22+--=++-=，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间]1(，-∞上是增函数；在区间)1[∞+，上是减函数，而t log y 2=在其定义域上单调增；
3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，=∞+--=-∞- ，
所以函数)3x 2x (log y 2
2++-=在区间]11(，
-上是增函数，在区间)31[，上是减函数。
函数值域求法十一种
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数的值域。
解：∵
∴
显然函数的值域是： 例2. 求函数的值域。 解：∵
故函数的值域是： 2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数
的值域。 解：将函数配方得：
∵
由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时， 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法
例4. 求函数
的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）当时，
解得： （2）当y=1时，，而 故函数的值域为
例5. 求函数的值域。
解：两边平方整理得：
（1） ∵
∴
x
1
y =
0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x 3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2
-∈+-=4)1x (y 2
+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22x 1x x 1y +++=
0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=?23y 2
1≤
≤0x =?
??
???∈23,211?
?????23,21)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42
≥-+=?
解得：
但此时的函数的定义域由，得
由，仅保证关于x 的方程：
在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵
代入方程（1）
解得：
即当
时，
原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数值域。
解：由原函数式可得：
则其反函数为：
，其定义域为：
故所求函数的值域为：
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数的值域。
解：由原函数式可得：
∵
21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤0≥?0y x )1y (2x 222=++-0
≥??
??
???23,212x 0≤≤0
)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +
==∴]
2,0[2
2
222x 41∈-+=
22222x 41-+=
]21,0[+6x 54
x 3++3y 5y
64x --=
3x 5y 64y --=
53
x ≠
?
?? ??
∞-53,1e 1e y x
x +-=1y 1y e x -+=
0e x
>
∴
解得：
故所求函数的值域为
例8. 求函数
的值域。
解：由原函数式可得：，可化为：
即 ∵
∴
即 解得：
故函数的值域为 6. 函数单调性法 例9. 求函数的值域。 解：令 则在[2，10]上都是增函数 所以在[2，10]上是增函数 当x=2时，
当x=10时，
故所求函数的值域为：
例10. 求函数的值域。
解：原函数可化为：
令，显然在上为无上界的增函数 所以，在上也为无上界的增函数
1y 1
y >-+1y 1<<-)1,1(-3x sin x
cos y -=
y 3x cos x sin y =-y 3)x (x sin 1y 2=β++1
y y 3)x (x sin 2+=
β+R x ∈]1,1[)x (x sin -∈β+1
1y y 312
≤+≤
-4
2y 42≤≤-
????
???
?-42,42)10x 2(1x log 2y 35
x ≤≤-+=-1x log y ,2y 325
x 1-==-21y ,y 21y y y +=8112log 2y 33min =
-+=-339log 2y 3
5
max =+=?
?????33,811x 1x y --+=
1x 1x 2
y -++=
1x y ,1x y 21-=+=21y ,y ],1[+∞1y y =2y ],1[+∞
所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值 显然，故原函数的值域为 7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数的值域。 解：令，
则
∵
又，由二次函数的性质可知
当时， 当时， 故函数的值域为 例12. 求函数
的值域。
解：因 即
故可令 ∴
∵
故所求函数的值域为
例13. 求函数的值域。 解：原函数可变形为：
可令，则有
2
1y y y +=22
22
=0y >]2,0(1x x y -+=t 1x =-)0t (≥1t x 2
+=43
)21t (1t t y 22+
+=++=0t ≥0t =1y min =0t →+∞→y ),1[+∞2
)1x (12x y +-++=0)1x (12
≥+-1)1x (2
≤+],0[,cos 1x π∈ββ=+1
cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1
)4sin(2+π
+β=π≤π+
β≤π≤β≤45
40,02
11)4sin(201)4
sin(22+≤+π
+β≤∴≤π+β≤-
∴]21,0[+
1x 2x x x y 2
4
3++-=2
22x 1x 1x 1x 221y +-?+?=β=tg x β=+-β=+22
22cos x 1x 1,2sin x 1x 2
当
时，
当时，
而此时有意义。
故所求函数的值域为 例14. 求函数，的值域。
解：
令，则
由
且
可得： ∴当时，
，当时，
故所求函数的值域为。 例15. 求函数的值域。
解：由
，可得 故可令
∵
当时， 当时，
故所求函数的值域为：
β
-=β?β-=∴4sin 41
2cos 2sin 21y 82k π-π=β41y max =
8
2k π+π=
β4
1y min -
=βtan ?
????
?-41,41)1x )(cos 1x (sin y ++=?
??
???ππ-∈2,12x )1x )(cos 1x (sin y ++=1x cos x sin x cos x sin +++=t x cos x sin =+)
1t (21
x cos x sin 2-=2
2)1t (21
1t )1t (21y +=++-=)4/x sin(2x cos x sin t π+=
+=??????ππ-∈2,12x 2t 22
≤≤2t =
223y max +=
2
2
t =2
2
43y +=
???????
?++223
,22432
x 54x y -++=0x 52
≥-5|x |≤],0[,cos 5x π∈ββ=4
)4sin(10sin 54cos 5y +π
+β=β++β=π≤β≤04
544π
≤π+β≤π∴4/π=β104y max +=π=β54y min -=]104,54[+
-
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数
的值域。
解：原函数可化简得
： 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，
当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，
故所求函数的值域为： 例17. 求函数的值域。
解：原函数可变形为：
上式可看成x 轴上的点到两定点的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，
，
故所求函数的值域为
例18. 求函数的值域。
解：将函数变形为： 上式可看
成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点到点的距离之差。
即： 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有
2
2)8x ()2x (y ++-=|8x ||2x |y ++-=)8(B -10|AB ||8x ||2x |y ==++-=10|AB ||8x ||2x |y =>++-=],10[+∞5x 4x 13x 6x y 22
+++
+-=2
222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=)0,x (P )1,2(B ),2,3(A --43
)12()23(|AB |y 22min =+++==],43[+∞5
x 4x 13x 6x y 22++-+-=
2
222)10()2x ()20()3x (y -++--+-=)1,2(B -)0,x (P |BP ||AP |y -='P 'ABP ?26
)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-
即：
（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。 如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），，在x 轴的同侧。 9. 不等式法
利用基本不等式
，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19. 求函数
的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当 即当
时，等号成立
故原函数的值域为：
例20. 求函数的值域。 解：
26y 26<<-26
|AB |||BP ||AP ||==-]26,26(-)1,2(--)1,2(-abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+∈4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=5
2x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1x
cos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+
++=x cot x tan =4k x π
±
π=)z k (∈),5[+∞x 2sin x sin 2y =x cos x sin x sin 4y =x cos x sin 42=
当且仅当，即当
时，等号成立。
由
可得：
故原函数的值域为：
10. 一一映射法
原理：因为
在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变
量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数
的值域。 解：∵定义域为
由得 故
或
解得
故函数的值域为
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，
所以
27
64]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==x sin 22x sin 2
2
-=32
x sin 2=
27
64y 2≤
9
3
8y 938≤≤-
????
???
?-938,938)0c (d cx b
ax y ≠++=
1x 2x
31y +-=
??
????->-<21x 21x |x 或1x 2x 31y +-=3y 2y 1x +-=
2
13y 2y 1x ->+-=
2
1
3y 2y 1x -<+-=
23
y 23y -
>-<或?
??
??+∞-??? ?
?-∞-,2323, 3
x 2x y ++=
)0t (2x t ≥+=1t 3x 2
+=+0t >2
1
t 1t 11t t y 2≤+=+=1x -=21
y 0≤
<
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数
的值域。
解：
令，则
∴当时，
当时，
此时
都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
?
?????21,042432x x 21x x x 2x 1y ++++-+=
4
23
4242x
x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=22
22x 1x
x 1x 1++???
? ??+-=2tan x β=β=?
??? ??+-22
22cos x 1x 1β=+sin 21
x 1x 2
1
sin 21
sin sin 21cos y 22+β+β-=β+β=∴161741sin 2
+
??? ??
-β-=41sin =
β16
17
y max =
1sin -=β2y min -=2tan
β?????
?-1617,2βsin
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
求函数的定义域和值域的方法
解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f
函数的定义域与值域 知识点与题型归纳
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域. ★备考知考情 定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择、填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，三种题型都有，难度中等. 一、知识梳理《名师一号》P13 知识点一常见基本初等函数的定义域 注意： 1、研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则！！！ 2、定义域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)分式函数中分母不等于零 (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0 (3)一次函数、二次函数的定义域均为R (4)y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R (5)y＝log a x(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞) (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0} 部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！
部分内容来源于网络，有侵权请联系删除！ (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意 义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约. （补充） 三角函数中的正切函数y ＝tan x 定义域为 {|,,}2 ∈≠+∈x x R x k k Z π π 如果函数是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合． 知识点二 基本初等函数的值域 注意： 值域必须写成集合或区间的形式！！！ (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是： 当a ＞0时，值域为{y |y ≥4ac －b 2 4a }； 当a ＜0时，值域为{y |y ≤4ac －b 2 4a } (3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0} (4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0} (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R . （补充）三角函数中 正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的值域均为[]1,1- 正切函数y ＝tan x 值域为R
函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分，得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4， ］ (0,］ 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。 (2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2 3 x 3，故函数的定义域是｛x | x (2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解：令 2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2 3，因此0 | x | 3，从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x
函数定义域值域求法总结
、函数定义域、值域求法总结
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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。 一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→
（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3- ]
函数的值域题型总结
求函数的值域 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定，确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。函数的值域，就是已知函数的定义域，求函数值最值问题，或取值范围的过程。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。对于如何求函数的值域，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，是高考中每年必考知识，而且试题占比很大，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下。 一、观察法求函数的值域 1 1+=x y 23+=x y 3 42-=x y 42sin +=θy 5 32-=x y 6 11+= x y 7 3cos 2+=θy 提示：（1）一次函数R y b kx y ∈+=,。 （2）二次函数0,2≥=y x y 。 （3）幂函数0,≥=y x y 。 （4）指数函数0,>=y a y x 。 （5）反比例函数0,≠=y x k y 。 （6）三角函数]1,1[,cos ,sin -∈==y y y θθ 二、利用函数的单调性求值域 1已知[0,1]x ∈，则函数21y x x = +-的值域是 23?? . 2函数4()([3,6])2 f x x x =∈-的值域为______[]1,4______。 3 已知函数]2,1[,42)(∈-=x x x x f 的值域 ]2,2[- 4 已知函数),1[,22+∞∈-=-x y x x 的值域 ),2 3[+∞ 5求函数]10,2[,1log 225∈-+=-x x y x 的值域。]33,8 1[ 提示：（1）利用函数的单调性，将定义域的取值带入函数求值。 三、分离常数法求函数的值域 1求函数x x y -+= 132的值域2-≠y 2求函数2323--=x x y 的值域 32-≠y 3求函数2 5422----=x x x x y 的值域 R y ∈{2≠y 且1≠y } 提示：（1）函数a c y b ax d cx y ≠++=,。（2）函数e f a b e f c d y a c y f ex b ax f ex d cx y --≠≠++++=且,,))(())(( 四、二次函数的值域问题 1函数22)(2+-=x x x f 在区间]4,0(的值域为（ ]10,1[ ） 2函数2 1,(12)y x x =-+-≤<的值域是（ (]3,1- ） 3函数1422 -+=x x y 的值域 ),3[+∞-
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。
函数定义域、值域求法的总结
函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数()y f x =中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数()y f x =中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+020 1x x ? ???≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都
冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常
⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
(推荐)高三文科数学一轮复习之求函数定义域和值域方法总结
求函数定义域和值域方法总结 一、求函数定义域方法总结 （一）简单函数定义域的类型及方法【必会！！！】 （1）f(x)为整数型函数时，定义域为R. 例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R. （2）f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合. 例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠= x x f x x f （3）f(x)为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合. 例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f （4）f(x)为对数型函数时，定义域为使真数大于零的实数集合. 例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a （5）正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ 例如Z)k ,2 k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ x x f （6）00没有意义. 例如)2 1(x ,)12()(0≠-=x x f
（二）对于抽象函数定义域的求解 （1）若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围； 例如：已知)(x f 的定义域为]5,1[，则)23(+x f 的定义域为]1,3 1[-. （2）若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域. 例如：已知)3(-x f 的定义域为]7,0[，则)(x f 的定义域为]4,3[-. 二、求函数值域方法总结 （一）常见函数的值域（结合图像）【必会！！！】 （1）一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R . （2）二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为： 当0>a 时，值域为}44|{2a b ac y y -≥；当0=a a a y x 且的值域为}0|{>y y . （5）对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R . （6）三角函数：
定义域和值域的求法
定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤ （2）当y=1时，0x =，而? ?? ???∈23,211
定义域和值域的求法经典
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 (6)0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈ ，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a << 确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1.直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形
定义域和值域
定义域、解析式、值域方法总结 （一）定义域： 1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？ () ()例：函数的定义域是 y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数x y tan = ??? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 反三角函数的定义域 ● 函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是， 函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝ arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条 件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 3. 如何求复合函数的定义域？ []的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的 定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。 例 若函数)(x f y =的定义域为??????2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
函数值域求法十一种(可编辑修改word版)
x x x x 函数值域求法十一种 1.直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 y =1 例1. 求函数x 的值域。 解：∵x ≠ 0 1 ≠ 0 ∴x 显然函数的值域是：(-∞,0) (0,+∞) 例2. 求函数y = 3 -的值域。 解 ：∵ ≥ 0 ∴-≤ 0,3 -≤ 3 故函数的值域是：[-∞,3] 2.配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数y = x 2- 2x + 5, x ∈[-1,2] 的值域。解：将函数配方得：y = (x - 1) 2+ 4 ∵x ∈[-1,2] 由二次函数的性质可知：当x=1 时，y min = 4 ，当x =-1时，y max = 8故函数的值域是：[4，8] 3.判别式法例 4. 求函数y = 1 + x + x2 1 + x2的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程(y - 1)x 2+ (y - 1)x = 0 （1）当y ≠ 1时，x ∈R ?= (-1) 2- 4(y - 1)(y - 1) ≥ 0 1 ≤ y ≤ 3 解得：2 2 1∈?1 , 3 ? （2）当y=1 时，x = 0 ，而??2 2 ??
? 1 , 3 ? 故函数的值域为?? 2 2 ? ? 例5. 求函数y = x + 的值域。 解：两边平方整理得：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2 = 0 （1） ∵x ∈R ∴? = 4(y + 1) 2 - 8y ≥ 0 解得：1 - ≤ y ≤ 1 + 但此时的函数的定义域由x(2 - x) ≥ 0 ，得0 ≤ x ≤ 2 由? ≥ 0 ，仅保证关于x 的方程：2x 2 - 2(y + 1)x + y 2 = 0 在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 ? 1 , 3 ? ? ≥ 0 求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为?? 2 2 ? ? 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0 ≤ x ≤ 2 ∴y = x + ∴y min = 0, y = 1 + x 1 = ≥ 0 代入方程（1） ∈[0,2] 解得： 2 + 即当 x 1 = 2 - 24 2 2 时， 原函数的值域为：[0,1 + 2 ] 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时， 应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。 3x + 4 例6. 求函数5x + 6 值域。 x = 4 - 6y 解：由原函数式可得： y = 4 - 6y 5y - 3 x ≠ 3 则其反函数为： 5x - 3 ，其定义域为： 5 x(2 - x) 2 2 x(2 - x) 2 2 + 2 - 24 2 2