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课后训练{1.1.1 任意角}

课后训练{1.1.1 任意角}
课后训练{1.1.1 任意角}

“任意角”课后训练

1.下列说法中正确的是( )

A .120°角与420°角的终边相同

B .若α是锐角,则2α是第二象限的角

C .-240°角与480°角都是第三象限的角

D .60°角与-420°角的终边关于x 轴对称

2.已知集合A ={α|α小于90°},B ={α|α为第一象限角},则A ∩B =( )

A .{α|α为锐角}

B .{α|α小于90°}

C .{α|α为第一象限角}

D .以上都不对

3.已知角2α的终边在x 轴上方,那么α是( )

A .第一象限角

B .第一或第二象限角

C .第一或第三象限角

D .第一或第四象限角

4.如果角α是第三象限角,则角

2

α的终边所在的区域是如图所示的( )区域(不含边界)

A .③⑦

B .④⑧

C .②⑤⑧

D .①③⑤⑦

5.终边在直线y =-x 上的所有角的集合是( )

A .{α|α=k ·360°+135°,k ∈Z }

B .{α|α=k ·360°-45°,k ∈Z }

C .{α|α=k ·180°+225°,k ∈Z }

D .{α|α=k ·180°-45°,k ∈Z }

6.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,那么角α=__________.

7.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角为__________.

8.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α=__________.

9.已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.

10.若角θ的终边与168°角的终边相同,求0°~360°内与角3

θ的终边相同的角.

参考答案

1答案:D 解析:对于A,420°=360°+60°,所以60°角与420°角终边相同,所以A 不正确;

对于B ,α=30°角是锐角,而2α=60°角也是锐角,所以B 不正确;

对于C,480°=360°+120°,所以480°角是第二象限角,所以C 不正确;

对于D ,-420°=-360°-60°,又60°角与-60°角终边关于x 轴对称,所以D 正确. 2答案:D 解析:小于90°的角包括所有负角,第一象限角指终边落在第一象限的角,所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合,故选D .

3答案:C 解析:由条件知k ·360°<2α<k ·360°+180°(k ∈Z ),

∴k ·180°<α<k ·180°+90°(k ∈Z ),当k 为偶数时,α是第一象限角;当k 为奇数时,α是第三象限角.

4答案:A 解析:∵α是第三象限角,

∴k ·360°+180°<α<k ·360°+270°(k ∈Z ),

∴k ·180°+90°<

2

α<k ·180°+135°(k ∈Z ). ∴当k =2n (n ∈Z )时,n ·360°+90°<2

α<n ·360°+135°,对应区域③; 当k =2n +1(n ∈Z )时,n ·360°+270°<2

α<n ·360°+315°,对应区域⑦; ∴角2α的终边所在区域为③⑦. 5答案:D 解析:因为直线过原点,它有两个部分,一部分出现在第二象限,一部分出现在第四象限,所以排除A ,B .又C 项中的角出现在第三象限,故选D .

6答案:270° 解析:由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360°的整数倍,

所以5α-α=4α=k ·360°(k ∈Z ).

∴α=k ·90°(k ∈Z ).

又∵180°<α<360°,令k =3,得α=270°.

7答案:-480° 解析:时针走过了1小时20分钟,则分针转了

43圈,又因为按顺时针方向旋转的角为负角,所以分针转过的角为43

-×360°=-480°. 8答案:-960° 解析:∵α与120°角终边相同,故有α=k ·360°+120°,k ∈Z . 又-990°<α<-630°,

∴-990°<k ·360°+120°<-630°,

即-1 110°<k ·360°<-750°.

当k =-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.

9答案:解:在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,

∴所有满足题意的角α的集合为{α|k ·360°+30°<α<k ·360°+150°,k ∈Z }∪{α|k ·360°+210°<α<k ·360°+330°,k ∈Z }={α|n ·180°+30°<α<n ·180°+150°,n ∈Z }.

10答案:解:因为θ=k ·360°+168°, 所以3

θ=k ·120°+56°,k ∈Z . 令0°≤k ·120°+56°<360°,得k =0,1,2,故0°~360°内与角

3θ终边相同的角有56°,176°,296°.

(完整版)角的概念的推广教学设计

角的概念的推广一教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题:角的概念推广(第一课时) 教学目的: 1?掌握用旋转”定义角的概念,理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角(包括a角)的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化观点审视事物,从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点:终边相同的角的表示。 设计理念: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的。 教学过程: 一、复习引入: 1. 回忆:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解,角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角,弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0°

高一数学《111任意角》学案

1.1.1 任意角 学习目标:1.理解任意角的概念 2.学会建立直角坐标系讨论任意角,判断象限角,掌握终边相同角的集合的写。 学习重点:将0360?? ~的角的概念推广到任意角. 学习难点:1.角的概念推广到任意角 2终边相同的角的表示。 复习:1.初中所学角的概念。 2.实际生活中出现一系列关于角的问题 新授探究案: 1.角的定义:一条射线绕着它的端点O ,从起始位置OA 旋转到终止位置OB ,形成一个角α,点O 是 角的顶点,射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。 说明:在不引起混淆的前提下,“角α”或“α∠”可以简记为α. 2.角的分类: 正角: 负角: 零角: 3.象限角: 非象限角(也称象限间角、轴线角):如角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 4.终边相同的角的集合: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 说明:终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同。 例1:在0360??~范围内,找出与95012'?-角终边相同的角,并判定它是第几象角. 练习1.在0与360范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1)120- (2)640 (3)95012'- 例2写出终边直线在y x =上的角的集合S ,并把S 中适合不等式360α?-≤ 720?<的元素β写出来. 练习2. 写出下列各边相同的角的集合S ,并把S 中适合不等式360720β-≤≤的元素β写出来: (1)60; (2)21-; 当堂检测 1. 下列命题中正确的是( ) A .终边在y 轴非负半轴上的角是直角 B .第二象限角一定是钝角

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》——教学设计 一、教材分析 1、地位与作用 我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广,首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义,然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念,最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性: 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节:任意角的概念的推广,45分钟。 3、教学目标 知识目标:掌握用旋转定义角的概念;理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义,培养学生用运动变化观点审视事物。 能力目标:通过布置课前任务——培养学生的自学能力; 通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力; 通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。 情感目标:通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性; 通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点 教学重点:理解并掌握正角、负角、零角的定义,掌握象限角的判断方法。 教学难点:旋转方向的观察、象限角的判断。

二、学情分析 学习对象为中职一年级学生,虽然有一定的观察能力,他们普遍对初中数学有恐惧感,数学基础普遍较差;学生重视专业课,忽视基础课的学习;学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性,但缺乏耐心和恒心。 三、教学策略选择与设计 针对职业学校学生、学科特点,更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线,以掌握方法、步骤为目标,让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念。树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。 教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我采用如下的教学策略:(1)引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。 (2)任务驱动法。通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。 (3)多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念,通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。 教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导:(1)分类学习法:了解数学知识是有规律可循的,要弄清角的分类及分类的方法。 (2)合作学习法:通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

角的概念的推广及弧度制

第一节:角的概念的推广及弧度制 一、基础知识 1、角的定义:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形(正角:逆时针;负角:顺时针;零角:没做任何旋转) 2、象限角:以角的顶点为原点,以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系,由角的终边所在位置确定象限角(终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”) 3、与α终边相同的角(连同α在内)可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义:圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法 (1)终边相同的角 例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上,y 轴的负半轴上时,则α用弧度制表示,分别组成的集合 例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合 (2)区域角和对顶角 例1、写出阴影区域表示的角α集合(包括边界)

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合 (3)对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限 例1、若θ为第三象限,求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题 例1、当12点过4 1小时的时候,时钟的长短针的夹角为多少弧度? 例2、时针走过2小时40分,则分针转过的角为多少?

课题111任意角(第一课时)

课题:§1.1.1任意角(第一课时) 班级: 高一(37)班时间: 2007.11.13 授课者: 陈艳 教材分析: 本节内容在数学必修4第一章第一节.主要介绍角的概念的推广,引入正角、负角、零角以及象限角的概念;终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,师生抽象并通过用几何画板等多媒体课件演示角的形成,使角更加形象直观.如钟表的时针与分针的转动、车轮的旋转等等,都能形成角.明确“规定方向”的角的实际意义,突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,再配以一定量的例题、习题,达到突破重点和难点的目的. 教学目标: 知识目标: 1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”、 “终边相同的角”的含义; 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法; 3.体会运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念. 能力目标: 1.培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力; 2.培养学生判断推理和化归转化能力,加强数形结合思想的运用; 3.通过由特殊到一般的归纳,培养学生探索问题的能力. 美育目标: 从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化的观点审视事物;通过与数(轴)的类比,理解正角、负角和零角,让学生感受图形的对称美、运动美,对学生进行美育教育. 教学重点: 1.将0°~360°的角的概念推广到任意角; 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义; 3.掌握终边相同的角的表示方法. 教学难点: 1.角的概念的推广; 2.终边相同的角的表示. 教学思想方法: 自主探究,师生互动,渗透研究性学习. 设疑、讨论:能使学生在相互的交流和沟通中激活思维,自主发现问题,并鼓励学生大胆发表

角概念推广优秀教案

【课题】5.1 角的概念推广 【教学目标】 知识目标: ⑴了解角的概念推广的实际背景意义; ⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念. 能力目标: (1)会判断角所在的象限; (2)会求指定范围内与已知角终边相同的角; (3)培养观察能力和计算技能. 情感目标: (1)经历推广角的概念及随之带来的新知识的认知过程,树立科学探究精神; (2)参与数学建模过程,感受生活中的数学模型,体会数学知识的应用. 【教学重点】 终边相同角的概念. 【教学难点】 终边相同角的表示和确定. 【教学设计】 (1)以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广; (2)在演示——观察——思维探究活动中,使学生认识、理解终边相同的角; (3)在练习——讨论中深化、巩固知识,培养能力; (4)在反思交流中,总结知识,品味学习方法. 【教学备品】 教学课件、学习演示用具(两个硬纸条一个扣钉). 【课时安排】 2课时.(90分钟) 【教学过程】

0°(1)(2)

终边在坐标轴上的角叫做界限角,例如,0°、90°、180°、270°、360°、?90°、?270°角等都是界限角. 运用知识强化练习 教材练习5.1.1 .在直角坐标系中分别作出下列各角,并指出它们是第几象限的角: ⑴ 60°;⑵?210°;⑶225°;⑷?300°. 动手操作实验观察 用图钉联结两根硬纸条,将其中一根固定在OA的位置,将另一根先转动到OB的位置,然后再按照顺时针方向或逆时

终边相同的角有无限多个,它们所组成的集合为

角终边相同的角的集合是 说明写出终边在y轴上的角的集合.

角的概念的推广经典练习题

4.1 角的概念的推广 【知识归纳】 一、轴线角(终边落在坐标轴上的角): x 轴正半轴:{}0|360,k k Z αα=?∈;x 轴负半轴:{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ; y 轴正半轴:{}00|36090,k k Z αα=?+∈; y 轴负半轴:{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈; x 轴:{}0|180,k k Z αα=?∈; y 轴: {}00|18090,k k Z αα=?+∈(注意区别) 所有坐标轴:{}0|90,k k Z αα=?∈。 二、象限角: 第一象限角:{}000|36036090,k k k Z αα?<

角的概念的推广练习含答案

第一章§2 一、选择题 1.与600°终边相同的角可表示为(k∈Z)() A.k·360°+220°B.k·360°+240° C.k·360°+60°D.k·360°+260° 2.已知S={α|α=k·360°-175°,k∈Z},则集合S中落在-360°~360°间的角是() A.185°B.-175° C.185°,-175°D.175°,-175° 3.下列说法中正确的是() A.第一象限角一定不是负角B.-831°是第四象限角 C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的角一定相等4.若α为第二象限角,则k·180°+α(k∈Z)的终边所在的象限是() A.第一象限B.第一、二象限 C.第一、三象限D.第二、四象限 5.角α与角β的终边关于y轴对称,则α与β的关系为() A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 6.判断下列角的集合的关系: 设集合A={α|α=k·180°+90°,k∈Z}∪{α|α=k·180°,k∈Z},集合B={β|β=k·90°,k∈Z},则() A.A包含于B B.B包含于 A C.A∩B=?D.A=B 二、填空题 7.已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S=____________________. 8.若α、β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=______________. 9.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界),那么角α的集合是________.

三、解答题 10.在与530°终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)-720°到-360°的角. 做完后,请看后面答案订正

角的概念的推广(教学设计)

§2 角的概念的推广 【教学目标】 1.通过实例,理解角的概念推广的必要性,了解任意角的概念,根据角的旋转方向,能判断正角、负角和零角; 2.学会建立直角坐标系来讨论任意角,理解象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法; 3.通过观察、联想得出相应的数学规律的学习过程,体会由特殊到一般的数学思维方法. 【教学重点】 1.了解任意角的概念,初步理解正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的概念; 2.初步学会终边相同的角的表示方法. 【教学难点】 终边相同的角的集合的表示方法. 【教学方法】 六环节分层导学法 【课前准备】 (学案导学)教师编印导学案,提前两天下发,指导学生完成并检查. 学生预习教材P6-8相关内容,完成优化设计基础知识梳理部分和导学案自主学习部分内容,形成对角的概念的推广的初步认识;学有余力的同学尝试完成优化设计典型例题领悟部分和导学案合作探究部分,至少明确本节课的研究主线. (小组交流)学生分组交流讨论,分享自己的学习心得,解决个别同学存在的困惑,共同梳理出自己小组存在的问题,以便在课堂上得到及时解决。 (检查反馈) 学生自主学习能力比较差,主要存在以下问题: 1)书写不够规范,角的单位“°”容易漏写; 2)思维不够严谨,审题不仔细,做题往往不注意条件; 3)终边相同的角的表示方法掌握不熟练; 4)概念辨析缺乏方法. 完成较好的学生有:白焕焕、杨宇、杨强、何楠.

【教学过程】 一、导入新课 初中阶段我们学习了“角的概念”,请大家思考一下问题: (1)初中学过的角是如何定义的,角的范围又是怎样的? (2)跳水运动员在空中身体的旋转周数如何用角度来表示? (3)汽车在前进和后退中,车轮转动的角度如何表示才合理? (4)工人师傅在拧紧或拧松螺丝时,扳手转动的角度如何表示比较合适? 学生围绕以上问题进行讨论,从而得出正角、负角和任意角的有关概念. 教师对学生的回答进行总结,并强调:在日常生活中,我们经常要遇到大于360°的角及按不同方向旋转而成的角,这些都说明了我们研究推广角的概念的必要性. 之后提出本节课的主要问题,即在初中学习的基础上,将角的概念推广到任意角. 【板书】角的概念的推广 二、展示评价 学生以组推荐代表展示导学案的完成情况,并回答问题:本节课中学习了哪些新概念,这些概念分别是如何定义的?其他同学补充完善,不同组别之间展开交流点评,教师根据学生的回答情况进行板书,并点拨、激励、评价. 展示形式:实物投影展示导学案的完成情况,口头表述回答教师所提问题. 三、导引探究 教师引导学生重点探究象限角的判定与终边相同角的表示方法,学会建立直角坐标系来讨论任意角,理解象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法. 探究1:判断角所在象限 例1在0°~360°之间,找出与下列各角终边相同的角,并分别指出它们是第几象限角: (1)480°;(2)-760°;(3)932°; 归纳小结:判断角α所在象限的方法:先在0°~360°之间,找出与所求角终边相同的角β,因为α与β终边相同,因此只需判断角β所在象限,即为角α所在象限. 跟踪训练1:象限角的概念: 第一象限角的集合可表示为____________ ______; 第二象限角的集合可表示为_________ ________ _; 第三象限角的集合可表示为;

111 任意角练习题

[课时作业] [A组基础巩固] 1.在0°~360°范围内,与-1 050°的角终边相同的角是() A.30°B.150° D.330°C.210° 解析:因为-1 050°=-1 080°+30°=-3×360°+30°,所以在0°~360°范围内,与-1 050°的角终边相同的角是30°,故选A. 答案:A 2.“喜羊羊”步行从家里到草原学校去上学,一般需要10分钟.10分钟的时间,钟表的分针走过的角度是() A.30°B.-30° D.-.60°60°C解析:利用定义,分针是顺时针走的,形成的角度是负角,又周角为360°,所360°以有×2=60°,即分针走过的角度是-60°.故选D. 12答案:D 3.如果α=-21°,那么与α终边相同的角可以表示为() A.{β|β=k·360°+21°,k∈Z} B.{β|β=k·360°-21°,k∈Z} C.{β|β=k·180°+21°,k∈Z} D.{β|β=k·180°-21°,k∈Z} 解析:根据终边相同的角相差360°的整数倍,故与α=-21°终边相同的角可表示为:{β|β=k·360°-21°,k∈Z},故选B. 答案:B 4.已知下列各角:①-120°;②-240°;③180°;④495°,其中是第二象限角的是() A.①②B.①③ D.②④C.②③ 解析:-120°是第三象限角;-240°是第二象限角;180°角不在任何一个象限内;是第二象限角.495°,所以135°+360°=495°. 答案:D 5.若2α与20°角的终边相同,则所有这样的角α的集合是________. 解析:∵2α与20°角终边相同, ∴2α=k·360°+20° ∴α=k·180°+10°,k∈Z. 答案:{α|α=k·180°+10°,k∈Z} 6.在0°~360°范围内:与-1 000°终边相同的最小正角是________,是第 ________象限角.

《角的概念的推广》教案正式版

《角的概念的推广》教案 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念;(3)理解任意角的概念,掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合;(5)能进行简单的角的集合之间运算。 2、过程与方法 类比初中所学的角的概念,以前所学角的概念是从静止的观点阐述,现在是从运动的观点阐述,进行角的概念推广,引入正角、负角和零角的概念;由于角本身是一个平面图形,因此,在角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引出象限角、非象限角的概念,以及象限角的判定方法;通过几个特殊的角,画出终边所在的位置,归纳总结出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识;树立运动变化观点,学会运用运动变化的观点认识事物;揭示知识背景,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中,我们知道最大的角是周角,最小的角是零角;通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广;角是一个平面图形,把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念;通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法;我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示,另外还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们,我们在拧螺丝时,按逆时针方向旋转会越拧越松,按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到,在这两个过程中,扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢?请几个同学畅谈一下,教师控制好时间,2-3分钟为宜。 这里面到底是怎么回事?这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义,先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的? 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”,这是从静止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看,角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示:逆时针转动形成角,顺时针转动而成角,转几圈也形成角,为推广角的概念做好准备) 1.正角、负角、零角的概念(打开课件第一版,演示正角、负角、零角的形成过程).我们规定:(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,如图(见课件)。一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫α的顶点.按顺时针方向旋转

2016高中数学人教B版必修四111《角的概念的推广》课后作业题

一、选择题 1、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A、B、C关系就是() A、B=A∩C B、B∪C=C C、A C D、A=B=C 【解析】锐角大于0°小于90°,故C B,选项B正确、 【答案】 B 2、把-1 485°转化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式就是() A、45°-4×360° B、-45°-4×360° C、-45°-5×360° D、315°-5×360° 【解析】B、C选项中α不在0°~360°范围内,A选项的结果不就是-1 485°,只有D正确、 【答案】 D 3、若α就是第二象限角,则180°-α就是() A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角 【解析】可借助于取特殊值法,取α=120°,则180°-120°=60°、 【答案】 A 4、若α与β的终边互为反向延长线,则有() A、α=β+180° B、α=β-180° C、α=-β D、α=β+(2k+1)·180°,k∈Z 【解析】α与β的终边互为反向延长线,则两角的终边相差180°的奇数倍,可得α=β+(2k+1)·180°,k∈Z、 【答案】 D

5、以下命题正确的就是() A、若α就是第一象限角,则2α就是第二象限角 B、A={α|α=k·180°,k∈Z},B={β|β=k·90°,k∈Z},则A B C、若k·360°<α〈k·360°+180°(k∈Z),则α为第一或第二象限角 D、终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z) 【解析】A不正确,如α=30°时,2α=60°为第一象限角、 在B中,当k=2n,k∈Z时,β=n·180°,n∈Z、 ∴A B,∴B正确、 又C中,α为第一或第二象限角,或在y轴的非负半轴上,∴C不正确、显然D 不正确、 【答案】 B 二、填空题 6、(2013·哈尔滨高一检测)与-2 002°终边相同的最小正角就是________、 【解析】与-2 002°终边相同的角的集合为{β|β=-2 002°+k·360°,k∈Z},与-2 002°终边相同的最小正角就是当k=6时,β=-2 002°+6×360°=158°、【答案】158° 7、若将时钟拨慢5分钟,则分针转了________度,时针转了________度、 【解析】拨慢时钟为逆时针形成正角,分针每分钟转过的度数为错误!=6°,5分钟转过30°,时针每分钟转过的度数为错误!=0、5°,5分钟转过2、5°、【答案】302、5 8、(2013·宁波高一检测)在四个角-20°,-400°,-2 000°,600°中,第四象限的角的个数就是________、 【解析】-20°就是第四象限的角;-400°=-360°-40°,也就是第四象限的角;-2000°=(-6)×360°+160°,就是第二象限的角;600°=360°+240°,就是第三象限的角、所以第四象限的角的个数就是2个、 【答案】2个

111角的概念的推广任意角、终边相同的角、象限角

1.1.1 角的概念的推广——任意角、终边相同的角、象限角 教学目标 『知识与技能』 1.认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分;2.能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性; 3.能用集合和数学符号表示象限角; 4.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 『过程与方法』 1.通过角的概念的扩充,让学生体会动态与静态数学观的差异,进一步理解旋转变换的作 用; 2.通过角合成的算法,终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中,将概念 的形式化、数量化的过程与方法,借此进一步体会数形结合的思想、方法,这是本节课的重点内容; 『情感、态度和价值观』 通过掌握角合成的算法,终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法,让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点. 知识的重点 形成任意角(正角、负角、零角)、终边相同的角、象限角的概念,掌握终边相同的角的表示方法和判定方法 知识的难点 终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示 教学方法 本节教学方法采用教师引导下的讨论法,通过多媒体课件在教师的带领下,学生发现就概念、就方法的不足之处,进而探索新的方法,形成新的概念,突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用,是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.

环节教学内容师生互动设计意图 情境引入复习静态数学观下,按图形 组合方式定义角. 复习动态的数学观指导 下,按“图形(旋转)变换” 的方式定义角. 『提问』角是数学中最常见的基本图形之一,按图形组合的 方式来看,角是由哪些基本的图形组成的呢? 『解答』有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 『提问』不加任何描述条件,两条共端点的射线组成几个 角?这两个角之间有什么关系?它们的取值范围是多少? 『解答』两个,和为360°,0°~360°(大于等于0°且 小于360°). 『提问』在图上我们如何区 分这两个角? 『解答』标示、添加描述条 件等 『提示』『演示』 为了解决上述问题,我 们看另一种定义方式.即,一条射线绕着它的端点从一个位 置旋转到另一位置所形成的图形叫做角. 『提问』两种定义方式有什么异同之处? 『解答』 角组合式旋转式 边两条射线 一条射线,另一边是 其经过旋转变换的结 果 顶点公共端点旋转中心 个数两个? 范围0°~360°? 『思考』在旋转式定义方式下,我们会产生这样的质疑: 1.一次旋转而得的角有几个? 2.两条射线一次组合产生的两个角,如何用旋转的方式表 示? 3.当旋转超过一周时,如何描述旋转量? 发现静态数学 观下,按“图形组合” 的方式定义角的概 念有很大的局限性. 比较两种角的定义, 发现差异,为角的概 念的推广做准备 概念形成任意角的概念 按照逆时针方向旋转而 成的角叫做正角; 按照顺时针方向旋转而 成的角叫做负角; 显然,当我们用旋转的方式定义角时,原有的角的范围 必须被扩充. 一.任意角的概念 我们用旋转变换的观点来扩充角的概念,即解决旋转变 换的三个要素(旋转中心、旋转方向和旋转量)对角的概念 有什么影响?以旋转变换的

111任意角-湖北省通山县第一中学高中数学必修四导学案(无答案)

1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 【预习指导】认真阅读教材 5 1 P,再思考完成预习案中所提出的问题; 【重点难点】 重点:角的概念和终边相同的角难点:终边相同的角的表示 【学习目标】 1.理解角的概念; 2.能表示终边相同的角和区域角。 预习案 要点1 角的概念 平面内_________绕着_________从一个位置_________到另一个位置所成的________图形. 要点2 角的分类 (1)正角:按___________方向旋转形成的角; (2)负角:按___________方向旋转形成的角; (3)零角:射线没有作___________称为形成一个零角 要点3 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S=____________________. 要点4 象限角 使_________与原点重合,角的______与x轴的正半轴重合,角的______在第几象限就称为第几象限 角.若终边落在________上,认为这个角不属于任何象限.称为__________. 思考: 1.零角的始边与终边重合,如果一个角的终边和始边重合,那么这个角一定是零角吗? 2.如何理解“终边相同的角”? 3.(1)-30°与20°哪一个更大?(2)小于90°的角是锐角吗? (3)第二象限角一定大于第一象限角吗? 探究案 探究一角的基本概念 例1一角为30°,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是____________. 思考题1 时针走过了3小时20分,则分针所转过的角的度数为________,时针所转过的角的度数 为________. 探究二终边相同的角 例2 (1)写出与-1840°角终边相同的角的集合M; (2)把-1840°的角写成k·360°+α(0°≤α<360°)的形式; (3)在(1)条件下若角β∈M,且β∈[-360°,360°),求角β. 思考题2在与角1030°终边相同的角中,求满足下列条件的角. ①最大的负角;②最小的正角;③360°~720°的角.

角的概念的推广教学设计

角的概念的推广-教学设计 哈尔滨市交界职业高中杜银霞 课题:角的概念推广(第一课时) 教学目的: 1.掌握用“旋转”定义角的概念,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。 2.掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程,培养学生用运动变化观点审视事物,从而深刻理解推广后的角的概念。 教学重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终边相同的角的表示方法。 教学难点:终边相同的角的表示。 设计理念: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,使角的推广变得更为必要,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破难点之目的。 教学过程: 一、复习引入: 1.回忆:初中是如何定义角的? 从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。 这种概念的优点是形象、直观、容易理解,角的范围是0°≤α≤360°,但其仅从图形的形状来定义角,弊端在于“狭隘”。 2.生活中很多实例会不在范围0°≤α≤360°内。 如:体操运动员转体,跳水运动员向内、向外转体 经过1小时时针、分针、秒针转了多少度? 这些例子不仅不在范围,而且方向不同,有必要将角的概念推广到任意角,用运动的思想来研究角的概念。 二、讲解新课: 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB,就形成角α.旋转开始时的射线OA叫做角α的始边,旋转终止的射线OB叫做角α的终边,射线的端点O叫做角α的顶点. 突出“旋转”注意:“顶点”“始边”“终边” ⑵.“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。 特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫做零角. ⑶意义 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。 1°角有正负之分如:a=210°b=-150°g=660°

(完整版)角的概念的推广练习题

角的概念的推广练习题 班级________ 姓名___________ 一、选择题: 1 把—1485 ° 转化为a+ k360 ° ( O°WaV 360° , k€ Z )的形式是( ) A . 45°—4X 360° B.—45°—4X 360° C.—45°—5X 360° D . 315°—5X 360° 2?若是第四象限角,贝U 是()? 2 A .第二象限角B.第三象限角 C. 第一或第三象限角 D.第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为:() A .{al 90°

角的概念推广(教案)

课题:5.1 角的概念推广 一、教学设计思想 本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。 本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组,为了体现个性化教学的教学理念,在教法上,采用了以学生为主体,以问题为中心,以老师为引导,以小组的合作为主要学习方式。课堂结构个性化,让学生在探究中展现个性,在合作中促进学生的个性发展。 在教学中通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。 二、学生情况与教材分析 1、学生通过初中三年的学习,已经了解了角的定义,基本上掌握了角的一些基本性质,会运用关于角的性质进行解题,因此只要简单地回顾角的一些基本知识就可引入新课; 2、几何能直观地启迪思路,帮助理解,特别是对于中职类学生,他们对知识的理解还是处于模糊阶段,基础比较差。因此,借助几何直观学习和理解数学,是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解,才是真正的理解。因此在教学中,要鼓励学生借助几何直观进行思考,揭示研究对象的性质和关系,从而渗透了数形结合的数学思想。 3、学习应该是学生积极主动的建构知识的过程,应该与学生熟悉的背景相联系。本课要求学生通过自主地观察、讨论、归纳、反思来参与学习,认识和理解数学知识,学会发现问题并尝试解决问题,在学习活动中进一步提升自己的能力。 三、教学目标: ⒈知识目标: ①引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广。 ②理解“旋转”定义角的概念,掌握“正角”、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念。 ③掌握“终边相同的角”、“象限角”的表示方法。 ⒉能力目标:培养学生利用运动变化的观点去发现问题、分析问题的能力,通过对各种角的表示法的训练,提高分析、抽象、概括的能力。 ⒊德育目标:通过师生互动、生生互动的教学活动过程,形成学生的体验性认识,体会成功的愉悦,提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度,通过实际问题,培养学生理论联系实际的唯物主义观点。 四、教学重点与难点: 重点:“正角”、“负角”、“零角”、“任意角”、“象限角”、“终边相同的角”的概念, 难点:把“终边相同的角”用集合和符号语言正确的表示出来。 通过具体问题,让学生从不同的角度作答,理解终边相同角的概念,利用从特殊到一般的方法,归纳出终边相同角的表示方法,达到突破难点的目的。 五、教学方法:新授课 六、教具:三角板、尺子 七、课时安排:1课时 八、教学内容分析: 本节主要介绍推广角的概念,引入正角、负角、零角的定义,象限角的概念,终边相同的角的表示方法. 树立运动变化的观点,理解静是相对的,动是绝对的,并由此深刻理解推广后的角的概念. 教学方法可以选为讨论法,通过实际问题,教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观,如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,明确“规定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握. 通过具体问题,让学生从不同角度作答,理解终边相同的角的概念,并给以表示,从特殊到一般,归纳出终边相同的角的表示方法,达到突破

2016高中数学人教B版必修四111《角的概念的推广》精选习题

第一章1、11、1、1 一、选择题 1、-510°就是() A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 [答案] C [解析]-510°=-720°+210°,∴-510°角与210°角终边相同,故选C、 2、与-457°角终边相同的角的集合就是() A、{α|α=k·360°+457°,k∈Z} B、{α|α=k·360°+97°,k∈Z} C、{α|α=k·360°+263°,k∈Z} D、{α|α=k·360°-263°,k∈Z} [答案] C [解析]-457°角与-97°角终边相同,又-97°角与263°角终边相同,又263°角与k·360°+263°角终边相同,∴应选C、 3、角α的终边经过点M(0,-3),则α() A、就是第三象限角 B、就是第四象限角 C、既就是第三象限角又就是第四象限角 D、不就是任何象限角 [答案] D [解析](0,-3)在y轴上,当α终边在坐标轴上时,我们认为这个角不属于任何象限、 4、在“①160°,②480°,③-960°,④-1 600°”这四个角中,属于第二象限的就是() A、① B、①② C、①②③ D、①②③④ [答案] C [解析]480°=360°+120°,-960°=-3×360°+120°,-1 600°=-5×360°+200°,故①②③就是第二象限的角,④就是第三象限的角、

5、以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的始边,终边在x轴上的角等于() A、{α|α=k·360°,k∈Z} B、{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z} C、{α|α=k·180°,k∈Z} D、{α|α=k·180°+90°,k∈Z} [答案] C [解析]终边在x轴上角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}、 6、在直角坐标系中,终边在坐标轴上的角的集合就是() A、{α|α=90°+k·360°,k∈Z} B、{α|α=90°+k·180°,k∈Z} C、{α|α=k·90°,k∈Z} D、{α|α=k·180°,k∈Z} [答案] C [解析]终边在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}, 终边在y轴上的角的集合为{α|α=90°+k·180°,k∈Z}, ∴终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}∪{α|α=90°+k·180°,k∈Z} ={α|α=2k·90°,k∈Z}∪{α|α=90°+2k·90°,k∈Z}={α|α=n·90°,n∈Z}、 二、填空题 7、设-90°〈α〈β〈90°,则α-β的范围就是________、 [答案]-180°〈α-β<0° [解析]∵-90°<β<90°, ∴-90°〈-β<90°,∴-180°〈α-β<180°, 又∵α〈β,∴α-β<0°,∴-180°〈α-β〈0°、 8、将时钟拨慢5 min,则时针转了________,分针转了________、 [答案]2、5°30° [解析]将时针拨慢5 min时针转了5×360° 12×60 =2、5°,分针转了5×错误!=30°、 三、解答题 9、写出-720°~360°范围内与-1 020°终边相同的角、 [解析]与-1 020°终边相同的角α=k·360°-1 020°(k∈Z)、 令-720°≤k·360°-1 020°<360°,

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