函数定义域、值域求法总结
一.求函数的定义域需要从这几个方面入手:
(1)分母不为零
(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。
(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠
二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法
1、直接定义域问题
例1 求下列函数的定义域:
① 2
1
)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x
x x f -+
+=211)(
解:①∵x-2=0,即x=2时,分式
2
1
-x 无意义, 而2≠x 时,分式
21
-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3
2
时,根式23+x 无意义,
而023≥+x ,即3
2
-≥x 时,根式23+x 才有意义,
∴这个函数的定义域是{x |3
2
-≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x
-21
同时有意义,
∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }
另解:要使函数有意义,必须: ?
??≠-≥+020
1x x ?
?
??≠-≥21
x x 例2 求下列函数的定义域:
①14)(2
--=
x x f ②2
14
3)(2-+--=
x x x x f
③=
)(x f x
11111++
④x
x x x f -+=
0)1()(
⑤3
7
3132+++-=x x y
解:①要使函数有意义,必须:142
≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--=
x x f 的定义域为: [3,3-]
②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥????≠-+≥--131
40
210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
∴定义域为:{ x|4133≥-≤<-- ③要使函数有意义,必须: 0 1110110 ≠++≠+≠? ?? ? ? ? ???x x x ? 2 110-≠-≠≠?? ? ??x x x ∴函数的定义域为:}2 1 ,1,0|{--≠∈x R x x 且 ④要使函数有意义,必须: ?? ?≠-≠+0 01x x x ???<-≠?01 x x ∴定义域为:{}011|<<-- ⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ?? ???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3 7 |{-≠x x 2 定义域的逆向问题 例3 若函数a ax ax y 1 2+ -= 的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解:∵定义域是R,∴ 恒成立,01 2≥+ -a ax ax ∴?????≤≤?-=?>2 001402a a a a a 等价于 练习: 3 22 log +-= mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围; 3 复合函数定义域的求法 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4 1(-?x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须: 4343454 3 43 45 14111411≤≤-??????≤ ≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数 )41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:??? ?? ?≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。 分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取 值范围就是复合函数的定义域。 (注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。 例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2 )的定义域。 答案:-1≤x2≤1? x2≤1?-1≤x ≤1 练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域 解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x ∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x ∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{} 2460|+≤≤x x 例7 已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域 因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。 练习: 1 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2 5 -) (提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域 3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( ) A.[]1,1- B?? ? ???- 21,21 C.?? ????1,2 1 D.10,2 ?????? 4 已知函数()11x f x x += -的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则( ) A.A B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B = 求值域问题 利用常见函数的值域来求(直接法) 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ; 反比例函数 )0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 的定义域为R , 当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤ }. 例1 求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②) (3x 1x 32 )(≤≤-=x f ③ x x y 1 + =(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3, ∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5] ②略 ③ 当x>0,∴x x y 1 + ==2)1(2+- x x 2≥, 当x<0时,)1 (x x y -+--==-2)1(2----x x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x x y 1 + =的图像为: 二次函数在区间上的值域(最值): 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R , ∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4], 当x=3时,y= -2;x=4时,y=1; ∴在[3,4]上,min y =-2,max y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,max y =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,max y =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b x 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2 min -=; ②当a<0时,则当a b x 2- =时,其最大值a b a c y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值. ②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行 讨论. 练习:1、求函数y =3+x 32-的值域 解:由算术平方根的性质,知x 32-≥0,故3+x 32-≥3。∴函数的值域为 [)+∞,3 . 2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解: 对称轴 []5,01∈=x []20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 1 单调性法 例3 求函数y=4x -x 31-(x ≤1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)= - x 31-,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而 y=f(x)+g(x)=4x-x 31- 在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。 小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函 数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+x -4的值域。(答案:{y|y ≥3}) 2 换元法 例4 求函数x x y -+=12 的值域 解:设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y [)(] 2,21,01m a x ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下,对称轴y t t 点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确 定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习:求函数y=x x --1的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 求 x x x x c o s sin cos sin 1++的值域; 例5 (三角换元法)求函数21x x y -+=的值域 解: 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x [ ][] 2 ,12 ,1)4 sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π θθθθθy 小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (2 2,sin πθθπ θπθ≤≤=≤≤- =a a 或设 (2)若题目中含有12 2 =+b a 则可设θ θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤ (3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2 2 π θπ < <- (5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中 ?? ? ? ? ∈2, 0πθ 3 平方法 例5 (选)求函数x x y -+-= 53 的值域 解:函数定义域为:[]5,3∈x [][][][] 2 ,24,21,0158,5,31582)5()3(2 222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y 4 分离常数法 例6 求函数2 1 +-= x x y 的值域 由12 3 1232≠+-=+-+= x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数)0(≠++= c d cx b ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量 的要求)内,值域为???? ??≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d cx c ad b c a y ≠+- + =,用复合函数法来求值域。 练习 求函数6 41 2+-= x x y 的值域 求函数1 33+=x x y 的值域 求函数 y = 1 212+-x x 的值域;(y ∈(-1,1)) 例7 求13+--=x x y 的值域 解法一:(图象法)可化为 ?? ? ??>-≤≤---<=3,431,221,4 x x x x y 观察得值域{} 44≤≤-y y 解法二:(不等式法) 4 14114)1(134 )1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域 练习:1y x x =++的值域 )[∞+,1 例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解:(换元法)设t x =3 ,则 31≤≤t 原函数可化为 [][] 8,28,3;2,13,12 1 ,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴?=+-=y t y t t t t y 例9求函数x x y 2231+-? ? ? ??= 的值域 解:(换元法)令1)1(22 2 +--=+-=x x x t ,则)1(31≤?? ? ??=t y t 由指数函数的单调性知,原函数的值域为?? ????+∞,31 例10 求函数 )0(2 ≤=x y x 的值域 解:(图象法)如图,值域为(]1,0 (换元法)设t x =+13 , 则()11 1131113113>-=+-=+-+=t t y x x x 101 1 01<<∴<<∴>y t t ()1,0原函数的值域为∴ 例13 函数1 1 22+-=x x y 的值域 解法一:(逆求法)110112 <≤-∴≥-+=y y y x [)1,1-∴原函数的值域为 解法二:(换元法)设t x =+12 ,则 原函数值域即得∴<≤-∴≤<∴≥112 2 01y t t 解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2 =++?+-y x x y 2 1) 1=y 时 不成立 2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 11<≤-∴y 综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 解法四:(三角换元法)∴∈R x 设?? ? ??-∈=2,2tan ππθθx ,则 ()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12 2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数3 425 2+-= x x y 的值域 解法一:(判别式法)化为0)53(422=-+-y yx yx 1)0=y 时,不成立 2)0≠y 时,0≥?得 500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y 综合1)、2)值域}50|{≤ 解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422 ,则t y 5 = 11)1(22≥+-=x t 50≤<∴y 所以,值域}50|{≤ 例15 函数11 ++ =x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2 =+-+x y x (][) ∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1 30 4)1(0 2 原函数值域为或y y y 解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321 ≥∴≥+ y x x 2) 0 1 2)(1)(1-≤∴-≤?? ? ???-+--=+ y x x x x 综合1)2)知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31, 例16 (选) 求函数)1(1 2 22->+++= x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x [)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212 20 )2(4)2(02原函数值域为 舍去 或y x y y y y 解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2 例17 (选) 求函数)22(1 2 22≤≤-+++= x x x x y 的值域 解:(换元法)令t x =+1 。。 小结:已知分式函数)0(222 2≠+++++=d a f ex dx c bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为 (选))(二次式 一次式 或一次式二次式== y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求 出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数 )0(≠+ =x x a x y 的单调性去解。 练习: 1 、)0(91 22 ≠++ =x x x y ; 解:∵x ≠0,11)1(912 2 2 +-=++ =x x x x y ,∴y ≥11. 另外,此题利用基本不等式解更简捷:119291 2 2 =+≥++ =x x y (或利用对勾函数图 像法) 2 、3 425 2 +-=x x y 0 3 、求函数的值域 ①x x y -+=2; ②242x x y --= 解:①令x u -= 2≥0,则22u x -=, 原式可化为4 9)2 1(22 2 +--=+-=u u u y , ②解:令 t=4x -2 x ≥0 得 0≤x ≤4 在此区间内 (4x -2 x )max =4 ,(4x -2 x )min =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1:将函数化为分段函数形式:?? ? ??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3) 1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图), 由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}. 解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图 5、求函数x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2 t 代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 6、(选)求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域 方法一:去分母得 (y -1)2 x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2 +4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2 ≥0 检验 51-=y (有一个根时需验证)时 2) 5 6 (2551=-?+- -=x (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5 1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1 综上所述,函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-} 方法二:把已知函数化为函数3 6 133)3)(2()3)(2(-- =+-=+---= x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -}