文档视界 最新最全的文档下载
当前位置:文档视界 › 高中数学,函数定义域、值域求法总结

高中数学,函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

一.求函数的定义域需要从这几个方面入手:

(1)分母不为零

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

定义域的求法

1、直接定义域问题

例1 求下列函数的定义域:

① 2

1

)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x

x x f -+

+=211)(

解:①∵x-2=0,即x=2时,分式

2

1

-x 无意义, 而2≠x 时,分式

21

-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-3

2

时,根式23+x 无意义,

而023≥+x ,即3

2

-≥x 时,根式23+x 才有意义,

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x

-21

同时有意义,

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解:要使函数有意义,必须: ?

??≠-≥+020

1x x ?

?

??≠-≥21

x x 例2 求下列函数的定义域:

①14)(2

--=

x x f ②2

14

3)(2-+--=

x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=x x y

解:①要使函数有意义,必须:142

≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为: [3,3-]

②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥????≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义,必须: 0

1110110

≠++≠+≠?

??

?

?

?

???x

x x ?

2

110-≠-≠≠??

?

??x x x ∴函数的定义域为:}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义,必须: ??

?≠-≠+0

01x x x ???<-≠?01

x x

∴定义域为:{}011|<<--

⑤要使函数有意义,必须: ???≠+≥+-073032x x ??

???-≠∈?37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}3

7

|{-≠x x

2 定义域的逆向问题

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ,求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解:∵定义域是R,∴

恒成立,01

2≥+

-a ax ax

∴?????≤2

001402a a a a a 等价于

练习:

3

22

log

+-=

mx x y 定义域是一切实数,则m 的取值范围;

3 复合函数定义域的求法

例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:

4343454

3

43

45

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x

∴函数

)41(+=x f y )41(-?x f 的定义域为:???

??

?≤≤-4343|x x

例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

分析:法则f 要求自变量在[-1,1]内取值,则法则作用在2x -1上必也要求2x -1在 [-1,1]内取值,即-1≤2x -1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域;或者从位置上思考f(2x -1)中2x -1与f(x)中的x 位置相同,范围也应一样,∴-1≤2x -1≤1,解出x 的取

值范围就是复合函数的定义域。

(注意:f(x)中的x 与f(2x -1)中的x 不是同一个x ,即它们意义不同。) 解:∵f(x)的定义域为[-1,1], ∴-1≤2x -1≤1,解之0≤x ≤1, ∴f(2x -1)的定义域为[0,1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(x 2

)的定义域。

答案:-1≤x2≤1? x2≤1?-1≤x ≤1

练习:设)(x f 的定义域是[-3,2],求函数)2(-x f 的定义域

解:要使函数有意义,必须:223≤-≤-x 得: 221+≤≤-x

x ≥0 ∴ 220+≤≤x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为:{}

2460|+≤≤x x

例7 已知f(2x -1)的定义域为[0,1],求f(x)的定义域

因为2x -1是R 上的单调递增函数,因此由2x -1, x ∈[0,1]求得的值域[-1,1]是f(x)的定义域。

练习:

1 已知f(3x -1)的定义域为[-1,2),求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-)

(提示:定义域是自变量x 的取值范围) 2 已知f(x 2)的定义域为[-1,1],求f(x)的定义域

3 若()y f x =的定义域是[]0,2,则函数()()121f x f x ++-的定义域是 ( )

A.[]1,1-

B??

?

???-

21,21

C.??

????1,2

1

D.10,2

??????

4 已知函数()11x

f x x

+=

-的定义域为A,函数()y f f x =????的定义域为B,则( ) A.A

B B = B.B A ∈ C.A B B = D. A B =

求值域问题

利用常见函数的值域来求(直接法)

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ,值域为R ;

反比例函数

)0(≠=

k x k

y 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0};

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ,

当a>0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥};当a<0时,值域为{a b ac y y 4)4(|2-≤

}.

例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②)

(3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=(记住图像) 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,

∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域是[-1,5]

②略

③ 当x>0,∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥, 当x<0时,)1

(x x y -+--==-2)1(2----x

x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2,+∞).(此法也称为配方法) 函数x

x y 1

+

=的图像为:

二次函数在区间上的值域(最值):

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域:

①142+-=x x y ; ②;]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:∵3)2(1422--=+-=x x x y ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R ,

∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4],

当x=3时,y= -2;x=4时,y=1;

∴在[3,4]上,min y =-2,max y =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1],当x=0时,y=1;x=1时,y=-2, ∴在[0,1]上,min y =-2,max y =1;值域为[-2,1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5],当x=0时,y=1;x=2时,y=-3, x=5时,y=6, ∴在[0,1]上,min y =-3,max y =6;值域为[-3,6].

注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a b

x 2-=时,其最小值a b ac y 4)4(2

min -=; ②当a<0时,则当a b

x 2-

=时,其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=; ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].

①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时, 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值.

注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;

②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行

讨论.

练习:1、求函数y =3+x 32-的值域

解:由算术平方根的性质,知x 32-≥0,故3+x 32-≥3。∴函数的值域为 [)+∞,3

.

2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域

解: 对称轴 []5,01∈=x

[]20,420,54,1max min 值域为时时∴====∴y x y x

1 单调性法

例3 求函数y=4x -x 31-(x ≤1/3)的值域。 设f(x)=4x,g(x)= -

x 31-,(x ≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而

y=f(x)+g(x)=4x-x 31-

在定义域为x ≤1/3上也为增函数,而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为{y|y ≤4/3}。

小结:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函

数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。 练习:求函数y=3+x -4的值域。(答案:{y|y ≥3})

2 换元法

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解:设t x =-1,则)0(122≥++-=t t t y

[)(]

2,21,01m a x ∞-∴==∴+∞∈=值域为,时当且开口向下,对称轴y t t

点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确

定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。

练习:求函数y=x x --1的值域。(答案:{y|y ≤-3/4} 求

x x x

x c o s

sin cos sin 1++的值域;

例5 (三角换元法)求函数21x x y -+=的值域

解: 11≤≤-x

∴设[]πθθ,0cos ∈=x

[

][]

2

,12

,1)4

sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π

θθθθθy

小结:(1)若题目中含有1≤a ,则可设)0,cos (2

2,sin πθθπ

θπθ≤≤=≤≤-

=a a 或设 (2)若题目中含有12

2

=+b a 则可设θ

θsin ,cos ==b a ,其中πθ20<≤

(3)若题目中含有21x -,则可设θcos =x ,其中πθ≤≤0 (4)若题目中含有21x +,则可设θtan =x ,其中2

2

π

θπ

<

<-

(5)若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ,则可设θθ22sin ,cos r y r x ==其中

??

?

?

?

∈2,

0πθ

3 平方法

例5 (选)求函数x x y -+-=

53 的值域

解:函数定义域为:[]5,3∈x

[][][][]

2

,24,21,0158,5,31582)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

4 分离常数法 例6 求函数2

1

+-=

x x y 的值域 由12

3

1232≠+-=+-+=

x x x y ,可得值域{}1≠y y 小结:已知分式函数)0(≠++=

c d

cx b

ax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量

的要求)内,值域为????

??≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad d

cx c ad

b c a y ≠+-

+

=,用复合函数法来求值域。

练习 求函数6

41

2+-=

x x y 的值域 求函数1

33+=x x

y 的值域

求函数 y =

1

212+-x

x 的值域;(y ∈(-1,1))

例7 求13+--=x x y 的值域

解法一:(图象法)可化为 ??

?

??>-≤≤---<=3,431,221,4

x x x x y

观察得值域{}

44≤≤-y y

解法二:(不等式法)

4

14114)1(134

)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 同样可得值域

练习:1y x x =++的值域 )[∞+,1

例8 求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域

解:(换元法)设t x

=3 ,则 31≤≤t 原函数可化为

[][]

8,28,3;2,13,12

1

,2max min 2值域为时时对称轴∴====∴?=+-=y t y t t t t y 例9求函数x

x y 2231+-?

?

? ??= 的值域

解:(换元法)令1)1(22

2

+--=+-=x x x t ,则)1(31≤??

?

??=t y t

由指数函数的单调性知,原函数的值域为??

????+∞,31

例10 求函数 )0(2

≤=x y x

的值域

解:(图象法)如图,值域为(]1,0 (换元法)设t x

=+13 ,

则()11

1131113113>-=+-=+-+=t t y x

x x 101

1

01<<∴<<∴>y t

t

()1,0原函数的值域为∴

例13 函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一:(逆求法)110112

<≤-∴≥-+=y y

y

x

[)1,1-∴原函数的值域为

解法二:(换元法)设t x =+12

,则

原函数值域即得∴<≤-∴≤<∴≥112

2

01y t

t

解法三:(判别式法)原函数可化为 010)1(2

=++?+-y x x y

2

1) 1=y 时 不成立

2) 1≠y 时,110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y

11<≤-∴y

综合1)、2)值域}11|{<≤-y y 解法四:(三角换元法)∴∈R

x 设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ,则

()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12

2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ

θ y

∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 例14 求函数3

425

2+-=

x x y 的值域

解法一:(判别式法)化为0)53(422=-+-y yx yx

1)0=y 时,不成立 2)0≠y 时,0≥?得

500)53(8)4(≤≤?≥--y y y y 50≤<∴y

综合1)、2)值域}50|{≤

解法二:(复合函数法)令t x x =+-3422

,则t

y 5

=

11)1(22≥+-=x t

50≤<∴y 所以,值域}50|{≤

例15 函数11

++

=x

x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 01)1(2

=+-+x y x

(][)

∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥?,31,1

30

4)1(0

2 原函数值域为或y y y

解法二:(不等式法)1)当0>x 时,321

≥∴≥+

y x

x 2) 0

1

2)(1)(1-≤∴-≤??

?

???-+--=+

y x x x x

综合1)2)知,原函数值域为(][)∞+-∞-,31,

例16 (选) 求函数)1(1

2

22->+++=

x x x x y 的值域 解法一:(判别式法)原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x

[)∞+∴-≤∴->-≤≥?≥---∴≥?,2212

20

)2(4)2(02原函数值域为

舍去

或y x y y y y

解法二:(不等式法)原函数可化为 当且仅当0=x 时取等号,故值域为[)∞+,2

例17 (选) 求函数)22(1

2

22≤≤-+++=

x x x x y 的值域

解:(换元法)令t x =+1 。。 小结:已知分式函数)0(222

2≠+++++=d a f

ex dx c

bx ax y ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为

(选))(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y 的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求

出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数

)0(≠+

=x x

a

x y 的单调性去解。 练习:

1 、)0(91

22

≠++

=x x

x y ; 解:∵x ≠0,11)1(912

2

2

+-=++

=x x x x y ,∴y ≥11.

另外,此题利用基本不等式解更简捷:119291

2

2

=+≥++

=x x y (或利用对勾函数图

像法)

2 、3

425

2

+-=x x y 0

3 、求函数的值域

①x x y -+=2; ②242x x y --= 解:①令x u -=

2≥0,则22u x -=,

原式可化为4

9)2

1(22

2

+--=+-=u u u y ,

②解:令 t=4x -2

x ≥0 得 0≤x ≤4

在此区间内 (4x -2

x )max =4 ,(4x -2

x )min =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y| 0≤y ≤2} 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解法1:将函数化为分段函数形式:??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)

1(12x x x x x y ,画出它的图象(下图),

由图象可知,函数的值域是{y|y ≥3}.

解法2:∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1,2的距离之和,∴易见y 的最小值是3,∴函数的值域是[3,+∞]. 如图

5、求函数x x y -+=142的值域 解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-?==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4

6、(选)求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域

方法一:去分母得 (y -1)2

x +(y+5)x -6y -6=0 ① 当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y+5)2

+4(y -1)×6(y+1)≥0 由此得 (5y+1)2

≥0

检验 51-=y (有一个根时需验证)时 2)

5

6

(2551=-?+-

-=x (代入①求根)

∵2 ? 定义域 { x| x ≠2且 x ≠3} ∴5

1-≠y 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y ≠1

综上所述,函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}

方法二:把已知函数化为函数3

6

133)3)(2()3)(2(--

=+-=+---=

x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1,∵ x=2时51-=y 即 51-≠y ∴函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域为 { y|

y ≠1且 y ≠5

1

-}

相关文档
相关文档 最新文档