复数代数形式的乘除运算教案 人教课标版(精美教案)

§复数代数形式的乘除运算

教学目标：

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学设想：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果，，，∈，那么?，，只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

教学过程：

学生探究过程：

.虚数单位i :()它的平方等于，即 2

1i =-;()实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立

. i 与－的关系: i 就是－的一个平方根，即方程－的一个根，方程－的另一个根是－i .i 的周期性：i , i , i , i

.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示*

. 复数的代数形式: 复数通常用字母表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式

. 复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当时，复数(、∈)是实数；当≠时，复数叫做虚数；当且≠时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：.

. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果，，，∈，那么?，

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

. 复平面、实轴、虚轴：

点的横坐标是，纵坐标是，复数(、∈)可用点(，)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(，)， 它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

．复数与的和的定义：()()()().

. 复数与的差的定义：()()()().

. 复数的加法运算满足交换律: .

. 复数的加法运算满足结合律: ()()

讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设，(、、、∈)是任意两个复数，那么它们的积()()(－)().

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成－，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.

.乘法运算律：

()()()

证明：设，，(，，，，，∈).

∵()()()()，

()()()().

又，.

∴.

()()

证明：设，，(，，，，，∈).

∵()［()()］()［()()］()

［()()］［()()］

()()，

同理可证：

()()()，

∴()().

()().

证明：设，，(，，，，，∈).

∵()()［()()］()［()()］

［()()］［()()］

()().

()()()()

()()()()

()()

()()

∴().

例计算()()()

解：()()()＝() () .

例计算：

（）() () ； （）（ ).

解：（）() () （）();

() （ ) .

.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z 的共轭复数为z 。

. 复数除法定义：满足()()()的复数(∈)叫复数除以复数的商，记为：()÷()或者

di

c bi a ++ .除法运算规则：

①设复数(，∈)，除以(，∈)，其商为(，∈)，

即()÷()

∵()()(－)().

∴(－)().

由复数相等定义可知???=+=-.

,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得???

????+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x

于是有:()÷()2

222d c ad bc d c bd ac +-+++. ②利用()(－).于是将

di c bi a ++的分母有理化得： 原式22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d

++-+?-+-==++-+ 222222

()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d ++-+-==++++. ∴()÷()i d

c a

d bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数与复数－，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为是有理数，而()·(－)是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例计算(12)(34)i i +÷-

解：(12)(34)i i +÷-1234i i

+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555

i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 例计算i

i i i 4342)1)(41(++++- 解：i

i i i 4342)1)(41(++++-22143247(7)(34)343434i i i i i i i +-++++-===+++

21432825251.2525

i i i i ++--===- 例已知是虚数，且z 1是实数，求证：1

1+-z z 是纯虚数. 证明：设(、∈且≠)，于是

z 1bi a +1i b a b b b a a a b a bi a )(22222

2+-+++=+-. ∵z

1∈，∴－22b a b +. ∵≠，∴. ∴

22)1(])1][()1[()1()1(11b

a bi a bi a bi a bi a z z ++-++-=+++-=+- .11212012])1()1[(12222i a

b a bi a b a i b a b a b a +=+++=+++--+++-= ∵≠，、∈，∴

i a b 1+是纯虚数 巩固练习：

.设,则z

1等于 － .

101103+i .i 10

1103+ .ai b bi a ai b bi a +-+-+的值是 .－

.已知－,则复数5

21z z i +的虚部为 .－ .－

.设i

y i i x -+-=+1231 (∈∈),则.

答案： .53 , －5

9 课后作业：课本第页 习题. 组，，

组，

教学反思：

复数的乘法法则是：()()(－)(). 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去

记公式. 复数的除法法则是：2222d

c a

d bc d c bd ac di c bi a +-+++=++(≠). 两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简

高考题选

．（年北京卷）2

2(1)i =+i -． . （年湖北卷）复数∈,且≠,若24z bz -是实数，则有序实数对（）可以是 .(写出一个

有序实数对即可)

【答案】：(

2,1). 【分析】：22224()4()42(2)z b z a b i ba b i a a b b ba bi -=+-+=--+-是实数，所以

2a b =，取(,)(2,1)a b =.

【高考考点】：本题主要考查复数的基本概念和运算.

【易错点】：复数的运算公式不能记错。

【高备考提示】：复数的基本概念和运算，是高考每年必考的内容，应熟练掌握。 ．（年福建卷）复数21(1i)

+等于（ ） ．12 ．12- ．1i 2 ．1

i 2

- ．（年广东卷）若复数（）()是纯虚数（是虚数单位，为实数），则

() () 12 () 12

() 答案：；解析：（）()（）()，故，故选； ．（年湖南卷）复数22i 1+i ?? ???

等于（ ） ．4i ．4i - ．2i ．2i -

．（年江西卷）化简

224(1)i i ++的结果是（ Ｃ ） Ａ．2i + Ｂ．2i -+ Ｃ．2i - Ｄ．2i --

．（年全国卷）设a 是实数，且

1i 1i 2a +++是实数，则a =（ ） ．12 ．1 ．32

．2

．（年全国卷Ⅱ）设复数z 满足

12i i z +=，则z =（ ） ．2i -+ ．2i -- ．2i - ．2i +

.（年陕西卷）在复平面内，复数

i +21对应的点位于（Ｄ） （）第一象限 （）第二象限 （）第在象限 （）第四象限

．（年四川卷）复数

311i i i ++-的值是（ ） （） （） （）1- （）i 解析：选．23331(1)201(1)(1)2

i i i i i i i i i i i +++=+=+=-=--+． 本题考查复数的代数运算．

．（年天津卷）i 是虚数单位，3

2i 1i

=-（ Ｃ ） Ａ．1i + Ｂ．1i -+ Ｃ．1i - Ｄ．1i --

．（年浙江卷）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z =1．

．（年上海卷）已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则,p q 的值为 （）

、4,5p q =-= 、4,5p q == 、4,5p q ==- 、4,5p q =-=-

．（年重庆卷）复数322i

i +的虚部为54. ．（年安徽卷）若为实数，

i ai

212++＝2，则等于() （）2 （）2 （）2 （）2 ．（年山东卷）若cos sin z i θθ=+（i 虚数单位），则21z =-使的值可能是（） ()6π ()4π ()3

π ()

2

π ．（年宁夏卷）i 是虚数单位，51034i i -+=+12i +．（用a bi +的形式表示，a b ∈R ，）

天才就是百分之九十九的汗水加百分之一的灵感。良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒，下面是板报网为大家分享的有关激励人的名言，激励人心的句子，希望能够在大家的生活学习工作中起到鼓励的作用。不要心存侥幸，避免贪婪的心作怪，这会令你思考发生短路。如果你不是步步踏实，学习确是件困难的事，但不怕不会，就怕不学，有谁生下来就是文学家，任何一件事情都要经历一个过程，学习同样如此，在学习的过程中，暴露出的问题也会越来越多，但如果不经历这样的磨练，学习就失去了意义。沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。我长大有写东西我们无能为力于是最后躲避最后的最后面对也只能面对，因为我们要活着。活着就不能被打败。这个季节梧桐大片大片的飘落花渐渐的凋零，没有声音。好象在编织着一个诱人的梦。也许是金榜题名的美梦啊,前事不忘，后事之师。