2011届高考数学第一轮专题复习教案15

课题：2.9.4函数应用举例4

教学目的：

1．根据实际问题，提出不同方案，建立数学模型，选定最佳方案，解决问题

2．培养培养观察分析、抽象概括、归纳总结、逻辑推理、化归转化的能力；

3．培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯

教学重点：数学建模的方法

教学难点：如何把实际问题抽象为数学问题.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

上一节课，我们主要学习了有关物理问题的数学模型，.这一节，我们学习有关生活消费问题的数学模型

二、新授内容：

例1随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一套商品

房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分

⑴现该家庭有两种贷款方案：一是马上贷款购房，等积累一定资金后再贷款买车；二是马上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案．

⑵建立家庭积累资金关于所经过时间的函数关系式．

分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况．

解：⑴方案一：先购房后买车．

为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．

按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）

还剩资金1万元．

设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式

y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）*月数

＝1+(0.5-0.15-2l*0.005728)x，

即 y＝1+0.229712x，（x∈N）

选(轿车的价值15万元)70％比例的汽车贷款，则首付汽车u(万元)关于x的函数关系式为

u=15(l-1%)x* 30％，即 u=4.5*0.99x（x∈N）．

，则

刚买车后家庭的结余资金为y

1 Array y

=买车前家庭积累资金-首付汽车款

1

＝(1+0.229712x)-4.5*0.99x，

即买车后家庭的结余资金为：

y

=-4.5*0.99x＋0.229712x+1（x∈N）．

1

=0．

用计算机作出其图象，可知x=12.86时，y

1

说明购房13个月后该家庭有能力买车．

但是为了保证买车后家庭的收支平衡，最早买车时间应为还清汽车贷款时家庭结余为0时x的值．

现建立买车后家庭月支出v（万元）关于x的函数关系式:

因为按此方案，汽车贷款为 15(l-1%)x70%，在资金紧张时，贷款期限选5年较为合理，也利于提前买车，所以

v=月支付购车款+月支付购房款+月生活支出+购车后每月要增加开支

＝0.019347*15(l-1%)x70%＋21*0.005728+0.15+0.1，

即买车后家庭月支出为：v=0.203144*0.99x+0.370288 （x∈N）．

因此，还清汽车贷款时的家庭结余为

y

＝买车后家庭的结余资金+[月收入-买车后家庭月支出]*五年

2

+60[0.5-v]

＝ y

1

＝( -4.5*0.99x＋0.229712x+1)

+60[0.5-(0.203144*0.99x+0.370288)]，

＝-16.68864*0.99x＋0.229712x+8.78272

即还清汽车贷款时的家庭结余为

y 2=-16.68864*0.99x

＋0.229712x+8.78272 （x ∈N ）．

用计算机作出其图象，可知x=20.75时，y 2=0． 综上所述，按方案一，说明可在购房21个月后再购车．

方案二：先买车后购房．

为了能尽快购房，同时缓解资金紧张问题，汽车和住房贷款分别选5年期和30年期．按70%的比例可贷汽车款10.5万元，首付30%后（4.5万元），家中（家庭有积蓄 10万元）还剩资金5.5万元． 同理，可得在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金

y 3＝剩余资金+（月收入-月生活支出-购车后月增支-月支付购车款）*月数 ＝5.5+(0.5-0.15-0.1-10.5*0.019347)x

y 3=5.5+0.0468565x （x ∈N ，60≤x ），

而此时购房需首付

y 4=30*(1+0.8%)x 30%=9*1.008x

在同一坐标系中分别作出y 3、y 4的图像， 由图像知，在汽车贷款期内购房前的家庭积累资金一直不够购房需首付资金

也可以令x=21，则y 3=5.5+0.0468565%21=6.483997（万元）． y 4＝10.639315（万元）

∵10.639315（万元）>6.483997万元．

∴说明方案二购房买车所需的时间比方案一长，该方案不可取．

因此，从以上两个方案看，选择方案一才能尽快购到车和房．即先按30年期、70%的比例向银行贷款购房，21个月后再按5年期、70%的比例向银行贷款买车．

解⑵ 现建立实施方案一后的家庭积累资金y （万元）关于时间x 月）的函数关系式． ①因购车前y=1+0.229712x ， （x ∈N 且1

y=[(l+0.229712*21)-4.5*0.9921]+(0.229712-0.l-0.019347*10.5*0.9921)(x-21) （x ∈N 且21

即y=-0.034779x+2.910535 （x ∈N 且21

y=(-0.034779*81+2.910535)+(0.229712-0.l)(x-81) （x ∈N 且81

即)36081(413236101297120≤<∈-=x N,x .x .y ．

所以，实施方案一后的家庭积累资金y （万元）关于时间x （月）的函数关系式为

??

?

??≤<∈-≤<∈+-≤≤∈+=)36081(413236101297120)

8121(91053520347790)211(22971201x N,x .x .x N,x .x .x N,x x

.y

想一想：除了该家庭提出的两种方案外，你是否还能提出其他的方案？实施你提出的方案后，能更快地买到车和房吗？

例2根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格)(t f 与时间t 满足关系

?????∈≤≤+-∈<≤+=).,4020(41).

,200(112

1

)(N t t t N t t t t f 销售量)(t g 与时间t 满足关系,400(3

43

31)(N t t t t g ∈≤≤+-=求这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大值

解：据题意，商品的价格随时间t 变化，且在不同的区间200<≤t 与4020≤≤t 上，价格随时间t 的变化的关系式也不同，故应分类讨论

设日销售额为(t F

⑴当N t t ∈<≤,200时

)34331)(1121()(+-+=t t t F 9464

441

(61)221(612++--=t ∴当10=t 或11时，.176)(max =t F

⑵当N t t ∈≤≤,4020时， 3

)42(31)34331

)(41()(2--=+

-+-=t t t t F ∴当20=t 时，161)(max =t F

综合（1）、（2）知当10=t 或11时，日销售额最大，最大值为176

说明：①销售额销售量?价格；

②解本题时应注意按时间划分区间分类讨论，然后对两种情况下的销售额的最大值作比较； ③要熟练掌握定义域为闭区间的二次函数最值的求法

三、练习：

1．某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平.

⑴若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？

⑵试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？ 2．如何设计船票价格？

某轮船公司争取到一个相距1000海里的甲、乙两地的客运航线权．已知轮船限载人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船速度的立方成正比例，轮船的最大时速是25海里/时，当船速为10海里/时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时

480元．你能为该公司设计一种较为合理的船票价格吗？

3．怎样利用旧墙建新墙？

某校办厂有毁坏的房屋一幢，留有一面旧墙长14米，现准备利用这面旧墙的一段为一面墙，建造平面图形为长方形，面积为126平方米的厂房，工程的条件是：

修1米旧墙的费用是造1米新墙费用的25％

利用拆旧墙1米所得材料建1米新墙的费用是造１米新墙费用的50%

问如何利用旧墙才能使建墙费用最低?

4．汽车使用多少年报废最合算？

某种汽车：

(A) 购买时费用为10万元．

(B) 每年应交保险费、养路费及汽油费合计9000元．

(C) 汽车的维修费平均为：第一年2000元，第二年4000元，第三年6000元，依等差数列逐年递增．

问：这种汽车使用多少年报废最合算？并分析A、B、C三笔费用对使用时间的影响．

四、小结：通过本节学习，进一步熟悉数学建模的方法，能运用数学模型解决一定的关于市场经济的实际问题，提高解决数学应用题的应变能力.

五、课后作业：

六、板书设计（略）

七、课后记：