测试五 模块综合测试(A 卷)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.和两条异面直线都平行的直线
A.只有一条
B.有两条
C.有无数条
D.不存在 答案:D 解析:与两条异面直线均平行的直线不存在,故应选D.
2.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 分别是AB 、BC 、CD 、C 1C 的中点,直线MN 与PQ 所成的角的度数是
A.45°
B.60°
C.30°
D.90° 答案:B 解析:如下图所示,连结AB 1、B 1C 、AC,则AB 1∥PQ,AC ∥MN,即得∠B 1AC 就是异面直线MN 与PQ 所成的角.
又∵AB 1=B 1C=AC,∴∠B 1AC=60°,故应选B.
3.设m 、n 是不同的直线,α、β、γ是不同的平面,有以下四个命题:
①????γαβα////β∥γ;②????⊥αβα//m m ⊥β;③????⊥βα//m m α⊥β;④m ∥α,其中为真命题的是
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④ 答案:C 解析:由平行于同一平面的两个平面相互平行,知命题①正确;
若α⊥β,m ∥α,则m 与β的位置关系可以是平行或相交或在平面β内,即命题②不正确; 若m ∥β,可在平面β内取直线n,使m ∥n,由m ⊥α,可得n ⊥α,所以α⊥β,即得命题③正确; 若m ∥n,n α,则m ∥α或m α,即命题④不正确.
综上可得正确的命题为①③,故应选C.
4.在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为
A.y=-x+2
B.y=-x-2
C.y=x+2
D.y=x-2
答案:A 解析:由已知可得直线的斜率为-1,又其在x 轴上的截距为2,即得方程为y=-x+2,故应选A.
5.以A(1,3)和B(-5,1)为端点的线段AB 的中垂线方程是
A.3x-y+8=0
B.3x+y+4=0
C.2x-y-6=0
D.3x+y+8=0 答案:B 解析:线段AB 的中点坐标为(-2,2),又k AB =5113+-=3
1, 所以AB 的中垂线方程为y-2=-3(x+2),即得3x+y+4=0,故应选B.
6.如果一个圆柱与一个圆锥的高相等,且中截面的面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶4
D.4∶3
答案:C 解析:设圆锥与圆柱的高为h,圆锥与圆柱的中截面半径为r,则圆柱的底面半径为
r,圆锥的底面半径为2r,则圆柱与圆锥的体积比为πr 2h ∶3
1×π(2r)2h=3∶4,故应选C. 7.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1各面上的对角线与正方体的对角线AC1垂直的条数是
A.4
B.6
C.10
D.12 答案:B 解析:在正方体中共有6条面上的对角线与正方体的对角线AC 1垂直,它们构成了两个等边三角形,故应选B.
8.过点M(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是
A.x+2y-5=0
B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0
D.3x+y-5=0 答案:A 解析:∵k OM =2,∴与OM 垂直的直线的斜率为-
21,则过点M(1,2)与原点距离最大的直线方程为y-2=-2
1(x-1),即得x+2y-5=0,故应选A. 9.方程x 2+y 2-4x+6y-m=0表示一个圆,则m 的取值范围是
A.m≥-13
B.m>-13
C.m>131-
D.m≥13
1- 答案:B 解析:方程x 2+y 2-4x+6y-m=0表示一个圆,则16+36+4m>0,解之,得m>-13,故应选
B.
10.(2007山东高考,3)下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是
①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
答案:D 解析:圆锥和正四棱锥的正视图都是全等的三角形.
11.(2007山东高考,理15文16改编)与直线x+y-2=0和曲线x 2+y 2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是
A.(x+2)2+(y-2)2=2
B.(x+2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-2)2=2
D.(x-2)2+(y+2)2=2
答案:C 解析:满足题意的圆为如下图所示的圆O 1,设O 1(x 0,x 0),半径为r.
∴r=(2|
266|-+-32)·21=2,2
020)6()6(-+-x x =42. ∴x 0=2或10(舍去).
∴圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=2.
12.两个相同的正四棱锥组成如右图所示的几何体,可放在棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有
A.1个
B.2个
C.3个
D.无穷多个 答案:D 解法一:八面体上、下两顶点间距离即两正四棱锥高之和为定值1,则本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个.其面积变化,体积显然变化.应选
D.
解法二:如下图所示,在正方体的俯视图中,可得正八面体中截面正方形ABCD 内接于另一个正方形,由此知正方形ABCD 的面积的范围为S ∈[
21,1),∴八面体的体积V=31S×1∈[61,3
1),即其体积的可能值有无穷多个.故应选D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.一个正方体的六个面上分别标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F ,下图所示是此正方体的两种不同放置,则与D 面相对的面上的字母是_____________.
解析:由题图,知A 对面上的字母为E,
D 对面上的字母为B.
答案:B
14.在一个45°的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45°角,则此直线与二面角的另一个面所成的角为_____________.
解析:如图,∠ABC=45°,作AC ⊥l,AD ⊥β,D 为垂足.
连结AC 、CD,则∠ACD=45°,
且∠ABD 就是AB 与β所成的线面角.
不妨设AC=a,则AB=2a,AD=2
2a. 在Rt △ABD 中,sin ∠ABD=2
1,所以∠ABD=30°. 答案:30°
15.(2007广东高考,15)如右图所示,圆O 的直径AB=6,C 为圆周上一点,BC=3.过C 作圆的切线
l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E,则∠DAC=______________,线段AE 的长为_______________.
解析:∵l为切线,∴OC⊥l.
∴∠DAO=∠COB=60°,∠CAO=30°.∴∠DAC=30°.
又∵OA=OE,且∠EAO=60°,∴AE=OA=OE=3.
答案:30° 3
16.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角后,有下列四个结论:
①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD所成角为60°;④AB与CD所成的角为60°.
其中正确结论的序号为______________.(填上所有正确结论的序号)
解析:如下图所示,可得正确的结论为①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;④AB与CD所成的角为60°.而AB与平面BCD所成的角应为45°,故应填①②④.
答案:①②④
三、解答题(共74分.要求写出主要的证明、解答过程)
17.(本小题满分10分)作图(不要求写出作法,请保留作图痕迹).
(1)画出右图几何体的三视图(尺寸自定);
(2)画出一个底面直径为4 cm,高为2 cm的圆锥的直观图.
解:(1)如下图:
主视图左视图
俯视图
(2)圆锥的直观图如下图所示:
18.(本小题满分12分)空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,且AC=BD ,判断四边形EFGH 的形状,并加以证明.
解:四边形EFGH 是菱形.
证明:∵EH 是△ABD 的中位线,∴EH ∥BD 且EH=
21BD. 同理,FG ∥BD,且FG=2
1BD,∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AC=BD,∴EH=EF.EFGH 是菱形.
19.(本小题满分12分)求与圆x 2+y 2-2x+4y+1=0同心,且与直线2x-y+1=0相切的圆的方程. 解:将圆方程x 2+y 2-2x+4y+1=0配方,得:(x-1)2+(y+2)2=4,∴所求圆的圆心为(1,-2). 又∵所求圆与直线2x-y+1=0相切,
∴圆的半径r=5)1(2|
1212|22=-+++?.∴所求圆为x 2+y 2-2x+4y=0.
20.(本小题满分12分)(2007宁夏高考,22)如右图,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B 、C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.
(1)证明A 、P 、O 、M 四点共圆;
(2)求∠OAM+∠APM 的大小.
答案:(1)证明:连结OP 、OM.
因为AP 与⊙O 相切于点P,所以OP ⊥AP.
因为M 是⊙O 的弦BC 的中点,所以OM ⊥BC.
于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心O 在∠PAC 的内部,可知四边形APOM 的对角互补, 所以A 、P 、O 、M 四点共圆.
(2)解:由(1)得A 、P 、O 、M 四点共圆,
所以∠OAM=∠OPM.由(1)得OP ⊥AP.
由圆心O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.所以∠OAM+∠APM=90°.
21.(本小题满分14分)如右图,圆x 2+y 2=8内有一点P(-1,2),AB 为过点P 且倾斜角为α的弦
.
(1)当α=135°时,求|AB|;
(2)当弦AB 被点P 平分时,写出直线AB 的方程;
(3)求过点P 的弦的中点的轨迹方程.
解:(1)过点O 作OG ⊥AB 于G ,连结OA ,当α=135°时,直线AB 的斜率为-1,故直线AB 的方程为x+y-1=0,∴OG=2|
100|-+=2
2. 又∵r=22,∴AG=2
15218=-=230.∴|AB|=2AG=30
.
(2)当弦AB 被P 平分时,OP ⊥AB ,此时k OP =-2,∴AB 的点斜式方程为y-2=2
1(x+1),即x-2y+5=0. (3)设AB 的中点为M(x ,y),AB 的斜率为k ,OM ⊥AB ,则??
???-=+=-,1),1(2x k y x k y 消去k ,得 x 2+y 2-2y+x=0,当AB 的斜率k 不存在时也成立,故过点P 的弦的中点的轨迹方程为x 2+y 2-2y+x=0.
22.(本小题满分14分)如右图,在二面角αlβ中,A 、B ∈α,C 、D ∈l ,四边形ABCD 为矩形,P ∈β,PA ⊥α,且PA=AD ,M 、N 依次是AB 、PC 的中点
.
(1)求二面角αlβ的大小;
(2)求证:MN⊥AB;
(3)求异面直线PA和MN所成角的大小.
答案:(1)解:连结PD,∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥DC,又PA⊥α,∴PD⊥l.∴∠PDA为二面角αlβ的平面角.
又∵PA⊥AD,PA=AD,∴△PAD是等腰直角三角形.∴∠PDA=45°,即二面角αlβ的平面角为45°.
(2)证明:过M作ME∥AD,交CD于E,连结NE,则ME⊥CD,NE⊥CD,∴CD⊥平面MNE,MN⊥CD.
又∵AB∥CD,∴MN⊥AB.
(3)解:过N作NF∥CD,交PD于F,∵N是PC的中点,∴F是PD的中点.连结AF,可以证明四边形AMNF是平行四边形,∴AF∥MN,∠PAF是异面直线PA和MN所成的角.
∵PA=AD,F是PD的中点.∴AF是∠PAD的角平分线.
∵∠PAD=90°,∴∠PAF=45°.∴异面直线PA和MN所成的角为45°.
高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③
过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )