【精品】第07讲 解三角形-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编
2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第07讲：解三角形
1、（2012一试2）设A B C ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3c o s c o s 5
a B
b A
c -=，
则t an t an A
B
的
值是. 【答案】
4
2、（2013一试3）在A B C ?中，已知sin 10sin sin A B C
=，cos 10cos cos A
B C
=,则tan
A
的值为.
【答案】11. 【解析】由于()()
sin
c o s 10sin sin c o s c o s 10c o s 10c o s A A B C B C B C A
-=-=-+=，所以sin
11cos A A
=，故
tan 11A =.
3、（2014一试7）设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I .若点P 满足1=PI ，则ABC ?与APC ?的面积之比的最大值为__________.
【答案】
3+2
【解析】1P I P I =由知点在以为圆心的单位圆k 上.
000,B A P K P P ααα∠=设在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在
000,3
IA C K π
αα∠<≤<
内，且是A P 与圆的切点，由于故
001
s in ()
s in s in s in 6
2,(1)1s in (
)
s in (
)
s in (
)
s in (
)
2
3
3
3
6
A P
B A P C
A P A
B S S A P A
C π
θα
ααπ
π
π
π
αααθ??+??=
=≤
=??---- 00=.6
IA P π
θα-=∠其中，
0011s in ,c o t 2
24
IP A P I A I
r
π
θθ∠=
=
===
由知，于是所以
B
A
B
C
M
N
P
T
I
B
1s in ()
c o s in 6
=2
s in (
)
6
2
2
π
θθθ
π
θ++
==
=
-
03122
A P
B A P
C S P P S ??+=根据（）、（）可知，当时，的最大值为
4、（2009二试1）如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ?（A B
∠<
∠）的外接圆Γ上弧BC
⌒ 、AC ⌒的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ?的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．
⑴求证：M P M T
N P N T
?=?；
⑵在弧AB ⌒（不含点C ）上任取一点Q （Q
A
≠，T ，B ），记A Q C ?，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，
求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
【解析】⑴连N I ，M I ．由于
P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，
于是N P
M I
=，P M
N I
=．
故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M T P N T
S S =△△（同底，等高）．
又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N P
P M T ∠+∠=?
，由三角形面积公式
1sin 2
P M T S P M M T P M T =
?∠△1sin 2
P N T S P N N T P N T ==
?∠△1sin 2
P N N T P M T
=
?∠
于是P M
M T P N N T
?=?．
⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N
∠=∠+∠=∠+∠=∠，
所以1N C
N I =，同理2
M C M I =．由M P M T N P N T
?=?得N T M T M P
N P
=．
由⑴所证M P
N C
=，N P
M C
=，故
1
2
N T M T N I M I =
．
又因12I N T Q N T Q M T I M T
∠=∠=∠=∠，有12I N T
I M T
??∽．
故1
2
N T I M T I ∠=∠，从而12
12
I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．
因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．学/科网
5、（2010二试1）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．
同理()()2
2
2
2
2
Q K
Q O
r
K O
r
=-+-，
所以2
2
2
2
P O P K
Q O Q K
-=-，
故O K ⊥P Q ．由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是
A Q A P Q N
P M
=
．①
由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得
1N B D E A Q B D E A Q N ?
?
=，②
1M C D E A P C D
E A
P M
??=．③ 由①，②，③可得N B M C B D
C D
=，所以
N D M D B D
D C
=
，故△DMN ∽△DCB ，于是D M N D C B ∠=∠，所以BC ∥MN ，
M
故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆. 注1：“2
P K
=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得
P K K F A K K E ?=?，④
则P ，E ，F ，A 四点共圆，故
P F E P A E B C E ∠=∠=∠，
从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是
P K P F P E P C ?=?，⑤
⑤-④，得
2
P K
P E P C A K K E =?-?=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）
． 注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．
6、（2011二试1）如图，Q
P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD
AC
,的中点．若DPA
BPA
∠=∠，证
明：CQB
AQB
∠=∠．
F
E Q
P
O
N
M
K D
C
B
A
从而有BQ
AC BD AC BD AC CD AB ?=?=?=
?)2
1(
2
1，
即
CD
BQ AC
AB =
．
又ACD ABQ
∠=∠，所以△ABQ ∽△ACD ，所以DAC
QAB
∠=∠．
延长线段AQ 与圆交于另一点F ，则DAF
CAB ∠=∠，故?
?
=DF
BC
．
又因为Q 为BD 的中点，所以DQF
CQB ∠=∠．
又DQF
AQB ∠=∠，所以CQB
AQB
∠=∠．
7、（2012二试1）如图，在锐角A B C ?中，,,A B A C M N >是B C 边上不同的两点，使得.B A M C A N ∠=∠设A B C ?和A M N ?的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A 三点共线.
【解析】证明：如图.连接12,A O A O ,过A 点作1A O 的垂线A P 交B C 的延长线于点P ,则A P 是
1O 的切线.因此B P A C ∠=∠, 因为,B A M C A N ∠=∠
所以A M P B B A M P A C C A N P A N ∠=∠+∠=∠+∠=∠
因而A P 是A M N 的外接圆2O 的切线, 故2.A P A O ⊥所以12,,O O A 三点共线.
A
B
8、（2013二试1）（本题满分40分）如图，A B 是圆ω的一条弦，P 为弧A B 内一点，E 、F 为线段A B 上两点，满足AE
EF FB
==.连接P E P F 、并延长，与圆ω分别相交于点C D 、.求证：
E F C D A C B D
?=?
【证明】连接AD ，BC ，CF ，DE .由于AE=EF=FB ，从而
sin =
2
sin B C B C E B C P B E A C A C E
A C P A E
?∠=
=?∠点到直线的距离点到直线的距离
. ○
1 同样
sin =2
sin A D A D F A P D A F B D B D F
B P D B F
?∠=
=?∠点到直线的距离点到直线的距离
. ○
2 另一方面，由于
B C E B C P B D P B D F ∠=∠=∠=∠， A C E A C P A D P A D F
∠=∠=∠=∠，
故将○
1，○,2两式相乘可得4
B C A D A C B D
?=?，即 4BC AD AC BD
?=?
○
3 由托勒密定理
A D
B
C A C B
D A B C D
?=?+? ○
4 故由○
3，○4得3A B C D A C B D
?=?,
即E F C D A C B D
?=?.学科&网
9、（2014二试2）（本题满分40分）如图，在锐角三角形ABC 中，∠BAC ≠60°，过点B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线BD,CE,且满足BD=CE=BC,直线DE 与AB ，AC 的延长线分别交于点F,G ，设CF 与
A
B
C
D
E
F
P
ω
ω
P
F
E
D
C
B
A
BD 交于点M,CE 与BG 交于点N ，证明：AM=AN.
||,L N C G 同理，由此推出0
180-B A L A B L +=∠A L M =∠A L B +∠B L M =∠A L B ∠∠ 0
=180-C A L A L C A C L A L C C L N =+=+∠∠∠∠∠.A L N =∠
||B C F G 再结合以及内角平分线定理得到 1L M L M B F C G C L A B B C C L A B L N
B F
C G
L N
B C
A C
B L
B L
A C
=??=??=?=及L M =L N.
故由A L =A L ,∠A L M =∠A L N ,L M =L N 得到△A L M 与△A L N 全等，因而A M =A N ,证毕.
10、(2015二试3)(本题满分50分)如图,A B C ?内接于圆,O P 为B C 上一点,点K 在线段A P 上,使得B K 平
各省高中数学竞赛预赛试题汇编
2012各省数学竞赛汇集
目录 1.2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷------第3页 2. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高一年级）---第7页 3. 20XX年高中数学联赛湖北省预赛试卷（高二年级）---第10页 4. 20XX年高中数学联赛陕西省预赛试卷------第16页 5. 20XX年高中数学联赛上海市预赛试卷------第21页 6. 20XX年高中数学联赛四川省预赛试卷------第28页 7. 20XX年高中数学联赛福建省预赛试卷（高一年级）---第35页 8. 20XX年高中数学联赛山东省预赛试卷---第45页 9. 20XX年高中数学联赛甘肃省预赛试卷---第50页 10. 20XX年高中数学联赛河北省预赛试卷---第55页 11. 20XX年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第62页 12. 20XX年高中数学联赛辽宁省预赛试卷---第72页 13. 20XX年高中数学联赛新疆区预赛试卷（高二年级）---第77页 14. 20XX年高中数学联赛河南省预赛试卷（高二年级）---第81页 15. 20XX年高中数学联赛北京市预赛试卷（高一年级）---第83页
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值 为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角 为锐角的直线l 与双曲线C 交于 ,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜率为 ___ 1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为 _____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足：1123, 7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b += ___ 132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___. 二、解答题（本题80分，每题20分） 11、在ABC ?中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明：
2020版高考数学二轮复习专题汇编全集
第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值．
B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值；
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1
解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 （1）三边之间的关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 （1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角.
高中数学竞赛模拟试题一汇总
高中数学竞赛模拟试题一 一 试 （考试时间：80分钟 满分100分） 一、填空题（共8小题，5678=?分） 1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是 。 2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如 ()22212312314 f =++=。记 1()() f n f n =， 1()(()) k k f n f f n +=， 1,2,3... k =，则 =)2010(2010f 。 3、如图，正方体1 111D C B A ABCD -中，二面角 1 1A BD A --的度数 是 。 4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。 5、若正数c b a ,,满足 b a c c a b c b a +- +=+，则c a b +的最大值是 。 6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。 7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=n i i a 01 的值是 。 8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2 x o π∈时的最 小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++） 9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有：n n n n a a 111+≥+ 10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。 （1）若||||||CD BC AB ==，求证：AOD ?的面积为定值； （2）若BOC ?的面积等于AOD ?面积的3 1，求证：||||||CD BC AB == 11、已知α、β是方程24410()x tx t R --=∈的两个不等实根，函数=)(x f 1 22 +-x t x 的定义域为[,]αβ. （Ⅰ）求);(min )(max )(x f x f t g -= （Ⅱ）证明：对于) 2 ,0(π∈i u )3,2,1(=i ，若1sin sin sin 321=++u u u ，则 64 3 )(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g . 二 试 （考试时间：150分钟 总分：200分） 一、（本题50分）如图， 1O 和2 O 与 ABC ?的三边所在的三条直线都相 切，,,,E F G H 为切点，并且EG 、FH 的 延长线交于P 点。 求证：直线PA 与BC 垂直。 二、（本题50分）正实数z y x ,,，满 足 1≥xyz 。证明： E F A B C G H P O 1。 。 O 2
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3．【福建省三明市A片区高中联盟校2017-2018学年高二上学期阶段性考试】为了解某地区名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区名年龄为~岁的高三男生体重()，得到频率分布直方图如图.根据图示，估计该地区高三男生中体重在kg的学生人数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 点睛：此题主要考查了频率分布直方图在实际问题中的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在解决此类问题中，充分利用频率分布直方图的纵坐标的实际意义，其纵坐标值为：频率/组距，由此各组数据的频率 =其纵坐标组距，各组频数=频率×总体，从而可估计出所求数据段的频数（即人数）. 4．【广东省中山一中、仲元中学等七校2017-2018学年高二3月联考】某商场在国庆黄金周的促销活动中， 对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则9时至14时的销售总额为 A. 10万元 B. 12万元 C. 15万元 D. 30万元 【答案】D
高中数学解三角形方法大全
解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<
总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 1.设集合，，，则（）。 A. B. C. D. 2.已知集合，，则_____。 3.设非空集合、满足，则（）。 A.任意，都有 B.存在，使得 C.存在，使得 D.任意，都有 4.已知集合，。 （1）求，； （2）已知，若，求实数的取值的集合。 5.已知集合，，，全集为。 （1）求。 （2）若，求的取值范围。 6.已知集合，集合，若，则的取值范围是（）。 A. B. C. D. 7.已知全集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 8.设集合，，分别求满足下列条件的实数的取值范围：（1）；（2）。 9.已知集合全集，，，则 10.已知集合，，当时，实数的取值范围是，则_____。 11.已知全集，，，则（）。 A. B. C. D. 12.若集合，，则（）。 A. B. C. D. 13.若集合，，，则实数的取值范围为 14.设全集，集合，，则_____。 15.已知全集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 16.已知集合，，，，则（）。 A. B.， C.， D.，， 17.设、是非空集合，定义，已知， ，则_____。 18.设全集为实数集，集合，，则（）。 A. B. C. D. 19.已知集合， 。（1）求集合，。 （2）已知集合，若集合，求实数的取值范围。 20.已知全集，集合，集合，则集合（）。 A. B. C. D. 21.设全集为，，。 （1）求及； （2），且，求的取值范围。 22.集合，，若，则的值为（）。 A. B. C. D. 23.设全集，，， （1）求。 （2）若，求实数的取值范围。 24.已知集合，，则（）。 A.或 B. C. D.或 25.定义一个集合的所有子集组成的集合叫做集合的幂集，记为，用表示有限集的元素个数， 给出下列命题：对于任意集合，都有；存在集合，使得；用表示空集， 若，则；若，则；若，则 ，其中正确的命题个数为（）。 A. B. C. D. 26.已知集合，，则集合中元素的个数为（）。 A. B. C. D. 27.设全集是三角形，是锐角三角形，是钝角三角形，则（）。 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是斜三角形 D.是钝角三角形 28.已知集合，，。 （1）求；（2）若，求的取值范围。 29.设集合，若，则集合可以是（）。 A. B. C. D. 30.集合，集合，则（）。 A. B. C. D. 31.集合，，则（）。 高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决 例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值. 解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ，从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3 变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得： 解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3．三角形的面积公式： （1）?S ＝ 21ah a ＝21bh b ＝21 ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝2 1 ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】 【2012四川】设M 是以F 为焦点的抛物线24y x =上的动点，则MO MF 的最大值是 (A) 3 (B) 3 (C) 43 (D) 答案：B 【2013黑龙江】设12,F F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，若双曲线右 支上存在一点P ，使() 220OP OF F P +?=u u u r u u u u r u u u u r ，O 为原点，且12PF =u u u r u u u r ，则该双曲线的离心率是 (A) (B) 1 (C) (D) 答案：B 【2012江西】椭圆22 22153 x y +=的内接正方形面积是 答案 45017 . 【2011江西】以抛物线2y x =上的一点M （1,1）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△MAB 和△MCD ，则线段AB 与CD 的交点E 坐标是 答案(1,2)-. 【2013全国】点A ，B 在抛物线2 4y x =上满足4OA OB ?=-u u u r u u u r ， O 为坐标原点，F 为焦点，则OFA OFB S S ???= 答案2. 【2013辽宁】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，斜率为1且过点M （b ，0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，若125 OA OB ?=-u u u r u u u r ，则该椭圆的方程是 答案22 1164 x y +=. 【2013吉林】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点A,B,C,D 若菱形ABCD 的内切圆半 径等于椭圆焦距的6 ，则椭圆的离心率是 答案 2 【2011新疆】已知O,F 分别为抛物线的顶点和焦点，PQ 为过焦点F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ， 求△OPQ 的面积. 答案略 【2013山东】椭圆22 143 x y +=的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值. 答案略 【2012辽宁】设不过原点O 的直线l 与椭圆2 214 x y +=交于,P Q 两点，且直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 答案略 高考理科数学试题分类汇编：12程序框图 一、选择题 1 ① （高考北京卷（理））执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 （ ） A ① 1 B ① 2 3 C ① 1321 D ① 610 987 【答案】C 2 ① （普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））某程序框图如图所示, 若该程序运行后输出的值是59 ,则 （ ） A ① 4=a B ① 5=a C ① 6=a D?7=a （第5题图） 【答案】A 3 ① （普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图所示,程序框图(算 法流程图)的输出结果是 （ ） A ① 16 B ① 2524 C ① 34 D ① 1112 【答案】D 4 ① （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））执行如题(8)图所示的程 序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是 （ ） A ① 6k ≤ B ① 7k ≤ C ① 8k ≤ D ① 9k ≤ 【答案】B 5 ① （高考江西卷（理））阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的 语句为 （ ） A ① 2*2S i =- B ① 2*1S i =- C ① 2*S i = D ① 2*4S i =+ 【答案】C 6 ① （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））阅读如图所示的程序 框图,若输入的10k =,则该算法的功能是 （ ） A ① 计算数列{}12n -的前10项和 B ① 计算数列{}12n -的前9项和 C ① 计算数列{ } 21n -的前10项和 D ① 计算数列{ } 21n -的前9项和网Z ① X ① X ① K] 【答案】A 7 ① （普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））执行右面的程 序框图,如果输入的10N =,那么输出的S = （ ） A ① 1111+2310+ ++…… B ① 111 1+ 2310+ ++……！！！ C ①1111+2311+ ++…… D ① 111 1+ 2311+ ++……！！！ 【答案】B 专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中， ， 解三角形练习 题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________． 题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________． 题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港 口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的 周长的最大值为________． 题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长． 题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形 高中数学专题练习:解三角形问题 [题型分析·高考展望]正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等;二是以实际生活为背景，考查解三角形问题;三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点. 常考题型精析 题型一活用正弦、余弦定理求解三角形问题 例1(1)(·广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝23， cos A＝ 3 2且b 点评在根据正弦、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断.一般地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解;在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止增解等扩大范围的现象发生. 变式训练1(·课标全国Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC. (1)求sin B sin C; (2)若∠BAC＝60°，求B. 题型二正弦、余弦定理的实际应用 例2如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为 1 260 m，经测量cos A＝12 13，cos C＝ 3 5. 高中数学竞赛试题汇编七《直线与圆》 一、知识清单 1. 求轨迹方程的步骤：建(系),设(点),限(制条件),代(入坐标),化(简). 2．直线方程的几种形式：一般/点斜/斜截/截距/两点式. 3．l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2200| |B A C By Ax d +++=。 6．圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2；圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0) 圆的参数方程为?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x 【2010黑龙江】与圆()2221x y -+=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有 (A) 2条 (A) 3条 (A) 4条 (A) 6条 答案：选C 【2010浙江】设P 是圆22 36x y +=上的动点，A （20,0）线段PA 的中点M 的轨迹方程为 . 答案：()22109x y -+=. 【2010黑龙江】已知22 1a b +=，且c a b <+恒成立，则c 的取值范围是 (A) (,2)-∞- (B) (,-∞ (C) ( (D) (-∞ 答案：选B 【2012河北】已知点P 是直线40kx y ++=，PA ，PB 是圆C: 2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为 . 备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题11数列C辑 历年联赛真题汇编 1．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}的通项公式为a n= √5[(1+√5 2 )n?(1?√5 2 )n], n=1,2,?.证明: 存在无穷多个正整数m,使得a m+4a m?1是完全平方数. 2．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】已知实数列a1,a2,a3,?满足:对任意正整数n，有a n(2S n?a n)=1，其中S n表示数列的前n项和证明: (1)对任意正整数n，有a n<2√n； (2)对任意正整数n，有a n a n+1<1. 3．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知数列{a n}:a1=7,a n+1 a n =a n+2,n=1,2,3,?.求满足a n>42018的最小正整数n. 4．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{a n}是等差数列，数列b n}满足b n=a n+1a n+2?a n2,n=1,2,?. (1)证明:数列{b n}也是等差数列； (2)设数列{a n},{b n}的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得a s+b t是整数，求|a1|的最小值. 5．【2015高中数学联赛（第01试）】设a1,a2,a3,a4是4个有理数，使得{a i a j|1?i 三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
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