二次函数解析式图象和性质专题
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二
次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()00， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随
x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下
()00，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()0c ， y 轴
0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．
0a < 向下
()0c ，
y 轴
0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．
a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下
()0h ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位
向右(h >0)【或左(h <0)】
平移|k|个单位
向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位
向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位
y=a (x-h )2+k
y=a (x-h )2
y=ax 2+k
y=ax 2
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2
沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
四、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?，其中2424b ac b h k a a -=-=
，． a 的符号
开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
0a >
向上
()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下
()h k ，
X=h
x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．
当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，．当
2b x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值2
44ac b a
-．
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写
成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，
当0b >时，02b
a
-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b
a
-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b
a
-
<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a
b
x 2-
=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是22 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12 x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a -=-=. ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间 十一、函数的应用 二次函数应用?? ??? 刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数考查重点与常见题型 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(2 2 --+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12 -+=bx kx y 的图像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为3 5 = x ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题， 如： 已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是－3 2 （1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 ?> 抛物线与x 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0?= 抛物线与x 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0?< 抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数2y ax bx c =++的图像如图1，则点 ),( a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a ，b ，c 之间的关系，是解决问题的关键． 例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(-2，O)、(x 1，0)，且1 的正半轴的交点在点(O ，2)的下方．下列结论：①a A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax 2 +bx+c 的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D ．(3，2) 答案：C 例4、（2006年烟台市）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m 2． （1）写出y 与x 的关系式； （2）当x=2，3.5时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 例5、已知抛物线y= 12x 2+x-52 ． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长． 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax 2 -(b+1)x-3a 的图象经过点P(4，10)，交x 轴于)0,(1x A ，) 0,(2x B 两点)(21x x <，交y 轴负半轴于C 点，且满足3AO=OB ． (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M ，使锐角∠MCO>∠A CO?若存在，请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x 轴于点A(x 1，0)，B(x2，O)， 则x 1·x 2=3<0，又∵x 1 ∴x 2>O ，x 1 ∴x 1·x 2=-3x 12=-3．∴x 12 =1. x 1<0，∴x 1=-1．∴．x 2=3． ∴点A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3 ∴．二次函数的解析式为y-2x 2 -4x-6． (2)存在点M 使∠MC0<∠ACO ． (2)解：点A 关于y 轴的对称点A ’(1，O)， ∴直线A ，C 解析式为y=6x-6直线A'C 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24)． ∴符合题意的x 的范围为-1 当点M 的横坐标满足-1 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间． 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表： x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 … 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． （1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b ．则1525, 220 k b k b +=?? +=? 解得k=-1，b=40，? 即一次函数表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元 w=（x-10）（40-x ）=-x 2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，? “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数； （2）?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 例3.你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所 示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示) ( ) A ．1．5 m B ．1．625 m C ．1．66 m D ．1．67 m 分析：本题考查二次函数的应用 答案：B 二次函数解析式图象和性质专题 一、 二次函数定义 练习：若函数()142 -+--=-m mx x m y m 是关于x 的二次函数,则m=________ 二、二次函数的基本形式 1、一般式 ()02 ≠++=a c bx ax y 分别指出下列二次函数中的a,b,c x x y 22+= 322++=x x y 12 12 -- =x y 322-+-=x x y y ＝2 x 2－mx －2＋2 m 2 22x mx a x ax y +-+-= 2、顶点式()()02 ≠+-=a n m x a y 指出a,m,n y= 12(x+8)2-9 ()212+-=x y y=－98 （x －83）2 +2 23x y = 132+-=x y y =2（x ＋1）2 3、交点式（双根式）()()()021≠--=a x x x x a y （非标准的化为标准的） 指出21,,x x a ()32+=x x y ()()323 2 +-- =x x y ()()x x y --=32 ()()x x y -+-=3122 4、三种形式的互化：一般式通过配方化为顶点式，一般式通过因式分解化为交点式，顶点式和交点式通过乘法化为一般式 练习：将下列二次函数化为顶点式 x x y 22+= 322++=x x y x x y 22+-= 322++-=x x y 3422+--=x x y 练习：将下列二次函数化为标准的交点式 x x y 22+= x x y 22+-= 322++-=x x y 4922++=x x y ()()x x y --=32 ()()3312-+=x x y ()()x x y -+-=3122 练习：将下列二次函数化为一般式 y =2（x ＋1）2 y= 12(x+8)2-9 ()212+-=x y y=－98 （x －83）2 +2 ()32+=x x y ()()323 2 +-- =x x y 三、二次函数的图象： （1）点与图象的关系：图象由无数个点构成，图象上的点的坐标满足函数解析式 练习：二次函数y=-x 2 +2x+m 的图象经过点A （3，0），求m 的值； 二次函数y=-x 2 +2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），求m 的值； 二次函数y=-x 2+2x+1的图象经过点A （3，m ），求m 的值； 二次函数y=-x 2+2x+1的图象经过点A （m ，4），求m 的值； (2)二次函数的图象的相关定义及图象特征：图象形状、特征 开口方向、大小，对称轴，顶点坐标，增减，最值，交点 例1：二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象与X 轴交于A （2，0）B （m,0）且对称轴为1-=x ， 则m=_____ 练习：二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象与X 轴交于A （2，0）B （-6,0）则对称轴为 _____ 函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象经过点A （3，6），B （8，6），则对称轴为_____ 二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象经过A （2，-5），B （m,-5）且对称轴为1-=x ， 则m=_____ 例2：（2010年金华） 已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ）A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 练习：已知函数c bx ax y ++=2，当x=2时，y 取最大值－5，则其图象开口向_____，对称轴是____________顶点坐标为____________ 例3：(2009年湖州)已知抛物线2 y ax bx c =++的图象开口向上且对称轴为直线1x =，图象经过点()() 212y y -1，，，， ),5(3y -()4,1y ，()5,7y 试比较1y ，2y ，543,y y y ，的大小： _______________ 练习：（2011湖北省）已知抛物线开口向下且对称轴为1-=x ，（3-，1y ）、C （3，2y ） ),5(3y -()4,1y 为图象上的四点，则1y ，2y ，43,y y 的大小关系是 ____________ 例4：（2011山东泰安，20 ，3分）若二次函数y=ax 2 +bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表： X -7 -6 -5 -4 -3 -2 y -27 -13 -3 3 5 3 则当x =1时，y 的值为 A.5 B.-3 C.-13 D.-27 练习：（2011山东济宁，8，3分）已知二次函数2 y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 4 1 1 4 …… 点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，则当112,x <<234x <<时，1y 与2y 的大小关系正确的是 A ．12y y > B ． 12y y < C ． 12y y ≥ D ． 12y y ≤ （2011山东枣庄，18，4分）抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 4 6 6 4 … 从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号） ①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2 y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是1 2 x = ； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大． (2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴 【 】 x … － 1 0 1 2 … y … －1 47- －2 4 7 - … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 例5：（2011山东威海，7，3分）二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－1＜x ＜3 B ．x ＜－1 C ． x ＞3 D ．x ＜－1或x ＞3 练习：(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ． 四、二次函数的图象与性质（图象为抛物线） 1、顶点式的图象和性质()()02 ≠+-=a n m x a y （1）开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减______________________ (5)最值___________(6)与y 轴一个交点,坐标()y ,0 (7)与x 轴的交点个数_____________坐标_____________ 练习：指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象 ()2 12-=x y 422-=x y ()1122 +-=x y ()1122 ---=x y ()1122 +--=x y （2011上海，4，4分）抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） （2011江苏无锡）函数图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 （2011湖南永州）由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 (2009年湖州)已知抛物线y=－(x ＋2)2 －3，图象经过点()() 212y y -1，，，， ),5(3y -， ()4,7-y 试比较1y ，2y ，43,y y 的大小： _______________ （2009年桂林市、百色市）二次函数2 (1)2y x =++的最_______值是______ （2009年湖北荆州）抛物线2 3(1)2y x =-+的对称轴是____________ （2011湖北鄂州，15，3分）已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好 有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2、交点式的图象和性质()()()021≠--=a x x x x a y （1）开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减 ______________________ (5)最值___________(6)与y 轴一个交点,坐标()y ,0 (7)与x 轴的交点个数_____________坐标_____________ 练习：指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象 ()()1222+-=x x y ()()x x y --=32 (2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x = （2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______．最大值是____ 3、一般式的图象和性质a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++= （1）开口___________(2)顶点坐标___________ (3)对称轴___________(4)增减______________________ (5)最值___________(6)与y 轴一个交点,坐标()y ,0 (7)与x 轴的交点个数_____________坐标_____________ （8）与X 轴两交点的距离AB= ()212214x x x x -+ 练习：指出下列二次函数的图象及性质并作大致图象 x x y 22+= 322++-=x x y 4922++=x x y 3422-+-=x x y 542++=x x y 例1：（2010福建模拟）抛物线322 -+=x x y 的对称轴是直线 ． 练习：（2011湖南怀化）当a 取 时，二次函数12)31(2 -+--=a x a ax y 的对称轴是x=-2 例2：（2010年兰州） 二次函数2 365y x x =--+的图像的顶点坐标是 A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2） D ．（1，-4） 练习：二次函数b ax x y +-=2 3的图像的顶点坐标是（1，2），则a=______b=______ （2011广东肇庆）二次函数522 -+=x x y 有 A ． 最大值5- B ． 最小值5- C ． 最大值6- D ． 最小值6- 例3：（2010年广州市）若二次函数y ＝2 x 2 －2 mx ＋2 m 2 －2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是 ． 变式练习1：二次函数为y =x 2 －x +m ，顶点在x 轴上，则m 范围是 _____ 变式练习2：若二次函数y ＝2 x 2 －2 mx ＋2 m 2 －2的图象的顶点在x 轴正半轴上，则m 的值 是 ． 变式练习3：二次函数为y =x 2 －x +m ，顶点在x 轴上方，则m 范围是 _____ 例4：如图所示，二次函数y=-x 2 +2x+m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一个交点为B ， 求点B 的坐标； 练习：（2011广元）如图，抛物线y ＝ax 2 ＋2ax ＋c(a ≠0)与x 轴交于点A(－4，0)和B ．求点B 的坐标； （2011贵州安顺）如图，抛物线y=2 1x 2 +bx －2与x 轴交于A 、B 两点，且A （一1，0）．求B 坐标 例5：（2011陕西）若二次函数c x x y +-=62 的图像过)321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-, 则321,,y y y 的大小关系是 ． 例6：（2011江苏泰州）已知：对二次函数y =x 2 -2x －3，写出当1＜x ≤3时y 的取值范围； 练习：已知抛物线2 123y x =- +，当15x ≤≤时，y 的最大值是（ ） A.2 B.23 C.53 D.7 3 例7：（2011台湾台北）若下列有一图形为二次函数y ＝2x 2 －8x ＋6的图形，则此图为（） 例8：（2010湖北省咸宁）抛物线 2 28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值 为 ． 练习：（2011湖北襄阳）已知二次函数12)3(2 ++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 范围是 （2011广东东莞，15，6分）已知抛物线2 12 y x x c =++与x 轴有交点．求c 的取值范围； （改编1）已知 02 12 c x x ++恒成立．求c 的取值范围； （改编2）已知02 12 ≤++- c x x 恒成立．求c 的取值范围； 例9：（2011台湾台北）如图(十四)，二次函数c bx ax y ＋＝+2 的图象在坐标平面上如图， 则方程02 ＝＋c bx ax +的两根，下列叙述正确的是（ ） A ．两根相异，且均为正根 B ．两根相异，且只有一个正根 C ．两根相同，且为正根 D ．两根相同，且为负根 （2011山东潍坊，12，3分）已知一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++= >的两个实数根1x 、 2x 满足021>+x x 和0.21 x x ，那么二次函数2(0)y ax bx c a =++ >的图象有可能是 （ ） 例10：（2011广东中山）抛物线2 12 y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值． 变式：抛物线212 y x x c = ++与x 轴两交点的横坐标为21,x x ，若82 221=+x x 求c 的值． 例11：.设抛物线2 2 2 (0)2 a y x ax a =++<的顶点为P ，与x 轴交于A 、B 两点，当△PAB 为 等边三角形时，a 的值为_____ _____. 五、二次函数图象与系数（一般式） （1）由系数确定图象 （2010年吉林省长春市）已知反比例函数x k y = 的图象如下右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为【 】 （2010湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2 ＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） y O x y O x y O x y O x y O x A ． B ． C ． D ． （2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数2 22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．． 是 （2011湖南湘潭市，8，3分）在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2 的图像可能是 （2011安徽芜湖，10,4分）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ ）. （2010烟台市）二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y y x O y x O y x O y x O （2）图象确定系数 a 确定开口， c 确定与y 轴交点，对称轴与a,c 共同决定 b ，与x 轴的交点个数确定?，对称轴与1和1-的大小决定2a+b 和2a-b ，图象上的特殊点的函数值确定特殊代数式的值 （2011四川重庆，7，4分）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ． a >0 B ． b ＜0 C ． c ＜0 D ． a ＋b ＋c >0 （2011甘肃兰州，9，4分）如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．． 的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 .已知二次函数的图象如图所示，则化简|a ＋b ＋c |-|a －b ＋c |＋|2a ＋b |－|2a －b |=_________ （2011山东日照，17，4分）如图，是二次函数 y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分， 给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2 +bx +c =0的两根分别为-3和1其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号） （2011江苏宿迁,8,3分）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＞0 B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ．c ＜0 D ．3是方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的一个根 1- 1 O x y x y - 1 O 1 图象的应用（数形结合） 例：（2011江苏无锡，10，3分）如图，抛物线y = x 2 + 1与双曲线y =- k x 的交点A 的横 坐标是1，则关于x 的不等式x 2 + 1- k x < 0的解集是 ( ) A ．x > 1 B ．x < ?1 C ．0 < x < 1 D ．?1 < x < 0 练习：已知函数2 y ax bx c =++的图象如图（7）所示，那么关于x 的方程 220ax bx c +++=的根的情况是（ ） 例：关于X 的方程322 -+=x x k 有四个根，则K 的范围是________ 练习：关于X 的方程322 -+=x x k 有四个根，则K 的范围是________ 图（7） x y 3- （第10题） x y A 二次函数考点培优 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax2+bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2+k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b ?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，（左同右异y 轴为0） c ?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y ?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x1)(x- x2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x1，x2 对称轴为 22 1x x h += 二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次 函数关系式是 2)1(2 -+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x2相同，这个函数解析式 为________。 ３.如果函数 1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()x y ，， 22() x y ，均在抛物线 2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12 y y =，则 12 x x = B ．若12 x x =-，则 12 y y =- C ．若 12 0x x <<，则 12 y y > D ．若 120 x x <<，则 12 y y > ５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322 --=x x y ，则b 、c 的值为 A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线 5)43()1(2 2+--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数 52-+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数 245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数. 9.抛物线2)13(-=x y 当x 时，Y 随X 的增大而增大 10.抛物线42 ++=ax x y 的顶点在X 轴上，则a 值为 ★11.已知二次函数2 )3(2--=x y ，当X 取1x 和2x 时函数值相等，当X 取1x +2x 时函数值 为 12.若二次函数 k ax y +=2 ，当X 取X1和X2（21x x ≠）时函数值相等,则当X 取X1+X2时，函数值为 13.若函数2 )3(-=x a y 过（２.９）点，则当X ＝４时函数值Y ＝ ★14.若函数k h x y ---=2 )(的顶点在第二象限则， h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y 有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？ 二次函数的图象和性质 教学目标 1、知道二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象； 3、掌握二次函数的两种表达形式：一般式和顶点式. 会用配方法将一般式转化为顶点式； 4、能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置和最值； 5、会根据已知条件求出二次函数的解析式. 知识讲解 1、二次函数的一般形式为y＝ax2＋bx＋c (a、b、c是常数，a≠0)其特点是：解析式是自变量的整式表达式，自变量最高次数是二次，二次项系数必须不为零。当b＝c＝0时，就是一个特殊的二次函数y＝ax2(a≠0)，我们首先学习的就是这类最简单的二次函数，y＝ax2的图象是一条顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线.当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值当x＝0时，最小值是0；当a<0时，抛物线的开口向下，函数有最大值当x＝0时，最大值是0。 2、二次函数的顶点式为y＝a(x－h)2＋k (a≠0)，顶点的坐标为(h，k)，对称轴为x＝h，当 a>0时，抛物线开口向上，此时，当x＝h时y有最小值为k；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x＝h时y有最大值k.。 例题讲解 例3、根据下列条件，分别求二次函数的解析式： ⑴顶点为(2，3)，图象经过点(0，1) ⑵当x＝4时，函数有最小值－3，且图象经过点(1，0) ⑶对称轴为x＝2，图象经过(1，4)，(5，0) ⑷形状与y＝3x2相同，当x＝－1时，y有最大值2 巩固练习： 1．二次函数y=2x 2－4x+3通过配方化为顶点式为y=______． 2．将函数y=－2x 2 +8x －7，写成y=a （x －h ）2 +k 的形式为_______，其顶点坐标是______，对称轴是_______． 3．已知抛物线y=x 2－6x+5的部分图象如图1，则抛物线的对称轴为直线x=_______．?满足y<0的x 的取值范围是________，将抛物线y=x 2－6x+5向________平移______?个单位，可得到抛物线y=x 2 －6x+9． 4．老师给出一个二次函数,甲,乙,丙三位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像经过第一、二、四象限；乙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小． 丙：函数的图像与坐标轴．．． 只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________． 5．不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是 ． 6．如图，如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，? 与y 轴交于C 点，且OB=OC= 12 OA ，那么b= _______________． 7．以下画抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的步骤，顺序正确的是（ ） ①利用函数的对称性列表；②确定抛物线的开口方向；③描点画图；?④将y=ax 2+bx+c 配方成y=a （x －h ）2+k 的形式 A ．③②①④ B ．④②①③ C ．②④①③ D ．③②④① 8．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，则有（ ） A ．b=3，c=7 B ．b=－9，c=－15 C ．b=3，c=3 D ．b=－9，c=21 9．抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图2，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a> 12 ；④b<1．其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 10．满足a<0，b>0，c=0的函数y=ax 2 +bx+c 的图象是图中的（ ） 第二章二次函数 1.二次函数所描述的关系 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 二、教学任务分析 本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过 分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 教学目标 (一)知识与技能 1．探索并归纳二次函数的定义． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)过程与方法 1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感态度与价值观 1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识． 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 §2.2.2 二次函数的性质与图象（教案） 一、教学目标 1、知识目标 （1）使学生掌握研究二次函数的一般方法——配方法 （2）进一步掌握二次函数2(0) =++≠的性质及图象的画法。 y ax bx c a 2、能力目标 （1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标 （1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。 二、教学重点、难点 运用配方法研究二次函数的性质。 三、教学方法 采用“问题引导——合作探究”的教学方式，通过创设一个个问题情境，引导和激发学生对知识进行思考、探索，从而完成新知识的建构，用学案提高课堂效益，用多媒体辅助教学，以增强直观性。 四、教学过程 1、问题引入 问题1：二次函数的定义，二次函数的图象是一条抛物线。 2、研究函数2(0) y ax a =≠的性质 请同学们拿出预习时所做的8个二次函数图象，对照图象填写下表。 函数2 y ax =的性质 目的：由特殊到一般，同时为配方法打下基础。 3、配方法的引入 问题2：（1）函数2(1)(0)y a x a =-≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？平移后哪些性质将会发生改变？哪些性质没变？ （2）函数2(1)2(0)y a x a =-+≠的图象可看作是函数2y ax =的图象怎样变换得到？ 将2(1)2y a x =-+展开得2222y ax ax a =-++即二次函数的一般形式了。 因此要研究一般形式的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象及性质，我们可想法化为 2(1)y a x k =-+形式，那采用方法是： 配方法 4、实例演练 例1：（1）研究二次函数21()462 f x x x =++的性质和图象； （2）研究二次函数2()43f x x x =--+的性质和图象 先研究第一题 （1）配方：21()462 f x x x =++2211(8)6[(4)16]62 2 x x x =++=+-+ 21 (4)22 x =+- 图象开口方向向上，顶点（-4，-2） 龙文教育学科导学 教师:学生:年级：日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数； 2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法； 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移；待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容： 知识回顾 1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量， a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 （1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交 点式：。此时抛物线的对称轴为。其中，（x 1,0）（x 2 ,0）是抛 物线与X轴的交点坐标。显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系： 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系 二次函数的常规解法： 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。 例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。 说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y ＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。 例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。 说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。 例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。 说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用 或 例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。 说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)，那么y叫做x的二次函数 注意：二次函数的表达形式为整式，且二次项系数不为0，b ，c可分别为0，也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习： 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师：同学们，我们上一节课一起研究了二次函数的表达式，那么我们一起来回忆一下表达式是什么？ 学生齐答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a不为0) 教师：好，那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. （学生表现很踊跃，一下写出了十多个） 教师：黑板上这些二次函数大致有几个类型？ 学生：（讨论了3分钟）四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师：太棒了！同学们归纳的很好，今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质！ 教师在学生板书的函数中选了四个，并把复杂的系数换成简单的常数，找到如下函数：y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材！) 教师启发学生利用函数中的“列表，描点，连线”的方法，把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组，一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”，兴趣很大，合作交流充分，课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导，在确认画图全部正确的情况下，提出了要求，开始了探究之旅. 教师：请同学们小组之间比较一下，你们画的图象位置一样吗？ 学生；不一样. 教师：有什么不一样？（开始聚焦矛盾） 学生:开口不一样. 学生A：走向不一样. 学生B：经过的象限不一样. 学生C：我们的图象在原点的上方，他们的图象在原点的下方. 教师：看来是有些不一样，那么它们位置的不一样是由什么要素决定的？（教师指明了探究方向，但未指明具体的探究之路，这是明智的） 学生：是由二次项系数的取值确定的. 教师：好了，根据同学们的回答，能得到图象或函数的那些结论？（顺水推舟，放手让学生一搏） 热烈讨论后，学生D回答并板书，当a>0时，图象在原点的上方，当a<0时，图象在原点的下方。 学生E:当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! （这个过程约用了十多分时间，学生体会非常充分，从学生的神情看，绝大多数学生已接受了这几个学生的板书，但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢？短暂停顿后，教师确定了思路） 教师：刚才你们是研究图象的性质，你们能否由图象性质得出相应的函数的性质？ 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师：请看同学们的板书，能揣摩图象“走向”的意思吗？ 学生：（七嘴八舌）当a>0时，图象从左上向下走到原点后在向右上爬；当a<0时，图象从左下向上爬到原点后在向右下走（未出现教师所预期的结论） 教师：好，你们从图象的直观形象来理解的图象性质，很贴切，你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗？ 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0二次函数的图象和性质
二次函数的性质与图像
二次函数的图像与性质知识点及练习
高中数学《二次函数的性质与图象》教案
初三二次函数的图像与性质
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像及性质
二次函数的图像和性质总结