函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
x 2 2x 15 0
①
11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1
例2求函数y '
定义域。
*16 x 2
解：要使函数有意义，则必须满足
sinx 0 ① 16 x 2 0
② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得
4x4
④
由③和④求公共部分，得
4 x 或 0 x
故函数的定义域为(4， ］ (0,］
评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？
二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 2
3 x 3，故函数的定义域是｛x |
x
(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求
g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。 三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求
参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项
例1求函数y
,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
|x 3|
8 0
② 由①解得 x 3或x 5。
由②解得
x 5或x 11 解：令
2 x 2 1 2 ，得 1 x 2 3，即 0 x 2
3，因此0 | x | 3，从而
1)的定义域。 3}。
③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 ｛x |x
的系数是m ,所以应分 m=0或m 0进行讨论。
解：当m=0时，函数的定义域为 R ; 当m 0时，mx 6mx m 8 0是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件
是
m 0
(6m)2 4m(m 8)
0 m 1
综上可知0 m 1。 评注：不少学生容易忽略
kx 2 4kx 3 0无实数
3
① 当& 0时， 16k 2 4 3k 0恒成立，解得0 k
4
② 当k=0时，方程左边=3工0恒成立。
3
综上k 的取值范围是0 k -。 4
四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要 加倍注意，并形成意识。
例7将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积 y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函 数的定义域。
1
解：设矩形一边为 x ，则另一边长为 -(a 2x)于是可得矩形面积。
2
J 八 1
2
y x (a 2x) ax x
2 2 2 1 x ax 。
2
由问题的实际意义，知函数的定义域应满足
x 0 1
(a 2x) 0
2 0 x
a
。
2
1 a 故所求函数的解析式为 y
x 2 -ax ，定义域为(0,巳)。 2 2
例8用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为 求此框架围成的面积 y 与x 的函数关系式，并求定义域。
解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。
m=0的情况，希望通过此例解决问题。 例6 已知函数f(x) kx 7 kx 2
4kx 解：要使函数有意义，则必须 kx 2 -的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
3
4kx 3工0恒成立，因为f (x)的定义域为
R , 即
x 0
a 2x 0
2x ,
故 y 2x L
2x
X
2
(2 -)x 2 Lx
2
根据实际问题的意义知
2x 0
1
(1 )当 a 0时，F ( x )的定义域为｛x| a x 1 a ｝；
1
(2) 当0 a 时，F (x )的定义域为｛x | a x 1 a ｝；
1 1 (3)
当a 或a 时，上述两区间的交集为空集，此时
F (x )不能构成函数。
2
2
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域 隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。 因此，求函数的单调区间，必须先
求定义域。
例10求函数y log 2( x 2 2x 3)的单调区间。 解：由 x 2 2x 3 0，即x 2 2x 3 0,解得 1 x 3。即函数y 的定义域为
(一 1, 3)。
函数y log 2( x 2 2x 3)是由函数y log 2t , t x 2 2x 3复合而成的。
2 2
t x 2 2x 3 (x 1)2 4，对称轴 x=1，由二次函数的单调性，可知
t 在区间
(,1］上是增函数；在区间［1,)上是减函数，而 y log 2t 在其定义域上单调增；
(1,3)
(
,1］ ( 1,1］,( 1,3) ［1,
) ［1,3)，所以函数 y log 2( x 2 2x 3)在区
间(1,1］上是增函数，在区间［1,3)上是减函数。
因为CD=AB=2x ，所以CD x ,所以AD
L AB CD L 2x x
故函数的解析式为
(2
尹LX ，定义域(
0,
五、参数型 对于含参数的函数，
例9已知f(x)的定义域为］0, 1］,求函数F(x) 解： 的解集：
求定义域时，必须对分母分类讨论。 因为
f(x)的定义域为］0, f(x 1］,即0 x 1。故函数 a) f(x a)的定义域。
F(x)的定义域为下列不等式组
::，即
即两个区间［—a , 1-a ］与］
a
a , 1+a ］的交集,
比较两个区间左、右端点，知
函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数数X的值域。
1
??? X
显然函数的值域是：(，0)(0,)例2.求函数y 3 X的值域。
解：?/ X 0
..X 0,3 .. X 3
故函数的值域是：【3
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
例3.求函数y X2 2X 5,x [ 1,2]的值域。
解：将函数配方得：y & 1)2 4
?/ X [ 1,2]
由二次函数的性质可知：当X=1时，『min 4，当X 1时，y maX 8 故函数的值域是：[4 , 8]
3.判别式法
1 X X2
例4.求函数y 1 X2的值域。
解：原函数化为关于X的一元二次方程
(y 1)X2 (y 1)X0
(1)当y 1时，X R
(1)24(y 1)(y 1) 0
1 3
解得：2 ' 2
1 □
(2)当y=1 时，X 0，而》2
1 3
故函数的值域为2,2
例5.求函数y x ，x(2x)的值域。
2 2
解:两边平方整理得：2x 2(y 1)x y 0(1)
1?/ x R
4(y 1)2 8y 0
解得：1
2 y 1 .2
但此时的函数的定义域由x(2 x) 0，得0x2
由o ，仅保证关于x 的方程:2x2 2(y 1)x y2 0在实数集R 有实根， 而不能确保其实根在区间[0,2]上，即不能确保方程(1)有实根，由 0
1 3 求出
的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为2,2。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
?/ 0 x 2
x(2 x) 0
0,
y 1 -2代入方程(1)
2 运 2\-'2 [02] X1 ￡ [0,2] 2 迈 24运
即当x1
2 时，
原函数的值域为：【0,1 4
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集 时，应综合函数的定义域，将扩大的部分易9除。 4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函 数的值域。
3x 4
例6.求函数5x 6值域。
x g
解:由原函数式可得：5
3
4 6y
3
则其反函数为：y 5x 3 ,其定义域为：％ 5
3
故所求函数的值域为：，5
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主 来确定函数的值域。
e x 1
例7.求函数y 厂的值域。
e x 以
解：由原函数式可得：
y 1
x
.e 0
y x
y
min
解得:
口 0
y i
解得：1 y 1
故所求函数的值域为（1,1）
COSX
例8.求函数'sinx 3的值域。
解：由原函数式可得：『前乂 cosx 旳,可化为:
y 2
1 si nx(x
)3y sin x(x )-
3y 即
y 2 1
?/ x R
sinx(x )[
1,1] 1 3y
1
即，y 2 1
V2
J2
解得：V y T
故函数的值域为T ，T
6. 函数单调性法
例9.求函数y 2X5 l og^x 1（2 x io ）的值域。 解：令y i 2x 5,y 2 log 3 - x 1
则y 「y 2在［2，10］上都是增函数 所以y y 1 y 2在［2，10］上是增函数 当 x=2 时，ymin 2 当 x=10时，y max 25
1 ,33
故所求函数的值域为：8
例10.求函数y x 1 x 1的值域。
2
解:原函数可化为：y x 1 x 1
令y 1 x 1,y 2 x 1，显然小2在口，］上为无上界的增函数 所以y y 1，y 2在口 ］上也为无上界的增函数
----- 1
log 3 2 1 -
8
log 3、9 33